与えられた関数 $y = (x+1)^{\tan x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x+1)^{\tan x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x+1)^{\tan x}$

$\ln y = \tan x \cdot \ln (x+1)$

両辺を $x$ で微分します。積の微分公式を使います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan x) \cdot \ln (x+1) + \tan x \cdot \frac{d}{dx} (\ln (x+1))$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sec^2 x \cdot \ln (x+1) + \tan x \cdot \frac{1}{x+1}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \sec^2 x \cdot \ln (x+1) + \frac{\tan x}{x+1} \right)$

$y = (x+1)^{\tan x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = (x+1)^{\tan x} \left( \sec^2 x \cdot \ln (x+1) + \frac{\tan x}{x+1} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (x+1)^{\tan x} \left( \sec^2 x \cdot \ln (x+1) + \frac{\tan x}{x+1} \right)$