与えられた写像 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto |1-x|$ に関して、以下の問いに答える。 (1) $f$ のグラフを図示する。 (2) 開区間 $(0, 3)$ の $f$ による像 $f((0, 3))$ を区間の記号で表す。 (3) 左半開区間 $(0, 1]$ の $f$ による逆像 $f^{-1}((0, 1])$ を区間の記号で表す。 (4) $f$ が単射ではない理由を述べる。 (5) $f$ が全射ではない理由を述べる。 (6) $f$ の定義域と終域をそれぞれ $[1, \infty)$ と $[0, \infty)$ に変更すると全単射となる。このとき、$f$ の逆写像 $f^{-1}$ を求め、その定義域と終域を明示する。 (7) (6) の条件の下で、$f^{-1} \circ f = id_{[1, \infty)}$ と $f \circ f^{-1} = id_{[0, \infty)}$ が成り立つことを確かめる。

1. 問題の内容

与えられた写像 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto |1-x|$ に関して、以下の問いに答える。

(1) $f$ のグラフを図示する。

(2) 開区間 $(0, 3)$ の $f$ による像 $f((0, 3))$ を区間の記号で表す。

(3) 左半開区間 $(0, 1]$ の $f$ による逆像 $f^{-1}((0, 1])$ を区間の記号で表す。

(4) $f$ が単射ではない理由を述べる。

(5) $f$ が全射ではない理由を述べる。

(6) $f$ の定義域と終域をそれぞれ $[1, \infty)$ と $[0, \infty)$ に変更すると全単射となる。このとき、$f$ の逆写像 $f^{-1}$ を求め、その定義域と終域を明示する。

(7) (6) の条件の下で、$f^{-1} \circ f = id_{[1, \infty)}$ と $f \circ f^{-1} = id_{[0, \infty)}$ が成り立つことを確かめる。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = |1-x|$ のグラフは、$y=|1-x|$ を描く。これは、$y=1-x$ ($x \leq 1$) と $y=x-1$ ($x > 1$) を合わせたもので、点 $(1, 0)$ で折れ曲がるV字型のグラフになる。

(2) $f((0, 3))$ を求める。

$f(0) = |1-0| = 1$

$f(3) = |1-3| = 2$

$x \in (0, 1)$ のとき、$f(x) = 1-x$ であり、 $1-x$ は $1$ から $0$ に減少する。

$x \in (1, 3)$ のとき、$f(x) = x-1$ であり、$x-1$ は $0$ から $2$ に増加する。

したがって、$f((0, 3)) = [0, 2)$ となる。

(3) $f^{-1}((0, 1])$ を求める。

$|1-x| \in (0, 1]$ となる $x$ を求める。

$0 < |1-x| \leq 1$ より、$-1 \leq 1-x \leq 1$ かつ $1-x \neq 0$。

$-2 \leq -x \leq 0$ かつ $x \neq 1$

$0 \leq x \leq 2$ かつ $x \neq 1$

したがって、$f^{-1}((0, 1]) = [0, 1) \cup (1, 2]$ となる。

(4) $f$ が単射ではない理由：

単射とは、$x_1 \neq x_2$ ならば $f(x_1) \neq f(x_2)$ が成り立つことである。

しかし、$f(0) = |1-0| = 1$ かつ $f(2) = |1-2| = 1$ であるから、$x_1 = 0, x_2 = 2$ に対して $x_1 \neq x_2$ だが $f(x_1) = f(x_2)$ となるので、$f$ は単射ではない。

(5) $f$ が全射ではない理由：

全射とは、任意の $y \in \mathbb{R}$ に対して、$f(x) = y$ となる $x \in \mathbb{R}$ が存在することである。

しかし、$f(x) = |1-x| \geq 0$ であるから、$f(x)$ は負の値をとることができない。したがって、例えば $y = -1$ に対して、$f(x) = -1$ となる $x$ は存在しないので、$f$ は全射ではない。

(6) $f: [1, \infty) \to [0, \infty); x \mapsto x-1$ とする。

$y = x-1$ とおくと、$x = y+1$ となる。

したがって、$f^{-1}(y) = y+1$ である。

$f^{-1}: [0, \infty) \to [1, \infty); y \mapsto y+1$

(7) $f^{-1} \circ f = id_{[1, \infty)}$ を確認する。

$f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(x-1) = (x-1)+1 = x$

$f \circ f^{-1} = id_{[0, \infty)}$ を確認する。

$f(f^{-1}(y)) = f(y+1) = (y+1)-1 = y$

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略（上記の通り）

(2) $[0, 2)$

(3) $[0, 1) \cup (1, 2]$

(4) $f(0) = f(2) = 1$ であるため。

(5) $f(x) \geq 0$ であるため、負の値をとることができない。

(6) $f^{-1}: [0, \infty) \to [1, \infty); y \mapsto y+1$

(7) 確認済み