関数 $y = 2\sin\theta + 2\cos2\theta - 1$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin\theta + 2\cos2\theta - 1$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos2\theta$ を $\sin\theta$ で表します。

$\cos2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ であるから、

$y = 2\sin\theta + 2(1 - 2\sin^2\theta) - 1 = 2\sin\theta + 2 - 4\sin^2\theta - 1 = -4\sin^2\theta + 2\sin\theta + 1$

ここで、$t = \sin\theta$ とおくと、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$-1 \le t \le 1$。

$y = -4t^2 + 2t + 1$ となります。

この2次関数を平方完成すると、

$y = -4(t^2 - \frac{1}{2}t) + 1 = -4(t^2 - \frac{1}{2}t + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) + 1 = -4(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{4} + 1 = -4(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{5}{4}$

したがって、$t = \frac{1}{4}$ のとき、最大値 $\frac{5}{4}$ をとります。

このとき、$\sin\theta = \frac{1}{4}$ より、$\theta = \arcsin\frac{1}{4}$。

また、$t = -1$ のとき、最小値をとります。

$y = -4(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -4 - 2 + 1 = -5$

このとき、$\sin\theta = -1$ より、$\theta = -\frac{\pi}{2}$。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{5}{4}$ ($\theta = \arcsin\frac{1}{4}$ のとき)

最小値: $-5$ ($\theta = -\frac{\pi}{2}$ のとき)