関数 $f(x) = \log(7x+1)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ に関する次の等式の真偽を調べ、真であれば証明し、偽であればその理由を述べる。 $f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)! \left(x + \frac{1}{7}\right)^{-n}$

## 3.3.1 (1) の問題

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(7x+1)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ に関する次の等式の真偽を調べ、真であれば証明し、偽であればその理由を述べる。

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)! \left(x + \frac{1}{7}\right)^{-n}$

2. 解き方の手順

$f(x) = \log(7x+1)$ を微分していくことで、$f^{(n)}(x)$ を求める。

$f'(x) = \frac{7}{7x+1} = 7(7x+1)^{-1}$

$f''(x) = 7(-1)(7x+1)^{-2} \cdot 7 = -7^2(7x+1)^{-2}$

$f'''(x) = -7^2(-2)(7x+1)^{-3} \cdot 7 = 2 \cdot 7^3 (7x+1)^{-3}$

$f^{(4)}(x) = 2 \cdot 7^3 (-3)(7x+1)^{-4} \cdot 7 = -2 \cdot 3 \cdot 7^4 (7x+1)^{-4}$

一般的に、$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)! 7^n (7x+1)^{-n}$ と推測できる。これを数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき、$f'(x) = 7(7x+1)^{-1}$ となり、上記の式は $f'(x) = (-1)^0 (1-1)! 7^1 (7x+1)^{-1} = 7(7x+1)^{-1}$ となり成立する。

(ii) $n=k$ のとき、$f^{(k)}(x) = (-1)^{k-1}(k-1)! 7^k (7x+1)^{-k}$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、$f^{(k+1)}(x)$ を計算する。

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} \left[ (-1)^{k-1}(k-1)! 7^k (7x+1)^{-k} \right]$

$= (-1)^{k-1}(k-1)! 7^k (-k)(7x+1)^{-k-1} \cdot 7 = (-1)^{k-1+1} k (k-1)! 7^{k+1} (7x+1)^{-(k+1)}$

$= (-1)^{k} k! 7^{k+1} (7x+1)^{-(k+1)}$

したがって、$n=k+1$ のときも成立する。

よって、すべての正の整数 $n$ に対して、$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)! 7^n (7x+1)^{-n}$ が成り立つ。

与えられた式は、$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)! \left(x + \frac{1}{7}\right)^{-n} = (-1)^{n-1}(n-1)! (7x+1)^{-n} \cdot 7^n$ と書き換えられるので、$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)! 7^n (7x+1)^{-n}$ と同じ形になる。

3. 最終的な答え

与えられた命題は真である。

証明は上記の通り。

## 3.3.1 (2) の問題

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(7x+1)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ に関する次の等式の真偽を調べ、真であれば証明し、偽であればその理由を述べる。

$f^{(n)}(x) = -(-7)^n (7x+1)^{-n}$

2. 解き方の手順

3.3.1(1) で求めた $f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)! 7^n (7x+1)^{-n}$ と比較する。

$n=1$ のとき、$f'(x) = 7(7x+1)^{-1}$ であり、与えられた式は $f'(x) = -(-7)(7x+1)^{-1} = 7(7x+1)^{-1}$ となり成立する。

$n=2$ のとき、$f''(x) = -7^2(7x+1)^{-2}$ であり、与えられた式は $f''(x) = -(-7)^2(7x+1)^{-2} = -49(7x+1)^{-2}$ となり成立する。

しかし、$n \ge 3$ の場合、$(n-1)!$ の項が存在するため、一致しない。

例えば、$n=3$ のとき、$f'''(x) = 2 \cdot 7^3 (7x+1)^{-3}$ であり、与えられた式は $f'''(x) = -(-7)^3(7x+1)^{-3} = 343(7x+1)^{-3}$ となり、一致しない。

3. 最終的な答え

与えられた命題は偽である。$n \ge 3$ のとき、$f^{(n)}(x)$ の式に $(n-1)!$ の項が含まれるため、与えられた式と一致しない。