与えられた重積分の積分順序を変更する問題です。 (1) $\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) dx$ (2) $\int_{1}^{3} dx \int_{x}^{6-x} f(x, y) dy$

1. 問題の内容

与えられた重積分の積分順序を変更する問題です。

(1) $\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) dx$

(2) $\int_{1}^{3} dx \int_{x}^{6-x} f(x, y) dy$

2. 解き方の手順

(1) の手順:

まず、積分範囲を図示します。

$0 \le y \le 1$ かつ $0 \le x \le \sqrt{1-y^2}$ です。

$x = \sqrt{1-y^2}$ は $x^2 = 1-y^2$ より、$x^2+y^2=1$ を表します。

これは原点中心、半径1の円を表し、$x \ge 0$ なので、第1象限の円弧になります。

$y=0$ から $y=1$ までの範囲なので、第1象限の円弧全体になります。

したがって、積分領域は、原点中心、半径1の円の第1象限の部分です。

次に、積分順序を $dx dy$ から $dy dx$ に変更します。

$0 \le x \le 1$ であり、$0 \le y \le \sqrt{1-x^2}$ です。

(2) の手順:

まず、積分範囲を図示します。

$1 \le x \le 3$ かつ $x \le y \le 6-x$ です。

$y=x$ と $y=6-x$ の交点は、$x=6-x$ より $2x=6$ なので $x=3$ です。このとき $y=3$。

$x=1$ のとき、$1 \le y \le 5$ です。

$x=3$ のとき、$3 \le y \le 3$ です。つまり、$y=3$。

したがって、積分領域は、$y=x$, $y=6-x$, $x=1$ で囲まれた領域です。

次に、積分順序を $dy dx$ から $dx dy$ に変更します。

$y$ の範囲は、$1 \le y \le 3$ と $3 \le y \le 5$ に分けて考えます。

$1 \le y \le 3$ のとき、$1 \le x \le y$ です。

$3 \le y \le 5$ のとき、$1 \le x \le 6-y$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) dy$

(2) $\int_{1}^{3} dy \int_{1}^{y} f(x, y) dx + \int_{3}^{5} dy \int_{1}^{6-y} f(x, y) dx$