与えられた5つの関数の積分（原始関数）を求める問題です。 (1) $\int \frac{1}{4-x^2} dx$ (2) $\int \frac{e^x}{1+e^x} dx$ (3) $\int \tan^2 x dx$ (4) $\int (\log x)^2 dx$ (5) $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数の積分（原始関数）を求める問題です。

(1) $\int \frac{1}{4-x^2} dx$

(2) $\int \frac{e^x}{1+e^x} dx$

(3) $\int \tan^2 x dx$

(4) $\int (\log x)^2 dx$

(5) $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{4-x^2} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{4-x^2} = \frac{1}{(2-x)(2+x)} = \frac{A}{2-x} + \frac{B}{2+x}$

$1 = A(2+x) + B(2-x)$

$x = 2$のとき、$1 = 4A \Rightarrow A = \frac{1}{4}$

$x = -2$のとき、$1 = 4B \Rightarrow B = \frac{1}{4}$

よって、

$\int \frac{1}{4-x^2} dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{2-x} dx + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2+x} dx$

$= -\frac{1}{4} \log |2-x| + \frac{1}{4} \log |2+x| + C$

$= \frac{1}{4} \log \left| \frac{2+x}{2-x} \right| + C$

(2) $\int \frac{e^x}{1+e^x} dx$

$u = 1+e^x$ と置換すると、$du = e^x dx$

$\int \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log (1+e^x) + C$

(3) $\int \tan^2 x dx$

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を利用します。

$\int \tan^2 x dx = \int (\sec^2 x - 1) dx = \int \sec^2 x dx - \int 1 dx = \tan x - x + C$

(4) $\int (\log x)^2 dx$

部分積分を2回行います。

$u = (\log x)^2, dv = dx$ とすると、$du = \frac{2 \log x}{x} dx, v = x$

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - \int x \frac{2 \log x}{x} dx = x(\log x)^2 - 2 \int \log x dx$

さらに、$\int \log x dx = \int 1 \cdot \log x dx$ で部分積分を行います。

$u = \log x, dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = x$

$\int \log x dx = x \log x - \int x \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x + C$

よって、

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - 2(x \log x - x) + C = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

(5) $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$u = 1-x^2$ と置換すると、$du = -2x dx \Rightarrow x dx = -\frac{1}{2} du$

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = -\sqrt{u} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4} \log \left| \frac{2+x}{2-x} \right| + C$

(2) $\log (1+e^x) + C$

(3) $\tan x - x + C$

(4) $x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

(5) $-\sqrt{1-x^2} + C$