次の定積分を求めます。 (1) $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx$ (2) $\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx$解析学定積分積分計算不定積分ルート対数関数2025/7/241. 問題の内容次の定積分を求めます。(1) ∫14x dx\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx∫14xdx(2) ∫ee21x dx\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx∫ee2x1dx2. 解き方の手順(1) ∫14x dx\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx∫14xdx を計算します。x\sqrt{x}x を x12x^{\frac{1}{2}}x21 と書き換えます。x12x^{\frac{1}{2}}x21 の不定積分は 23x32\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}32x23 です。したがって、∫14x dx=[23x32]14\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4}∫14xdx=[32x23]14=23(432)−23(132)= \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}})=32(423)−32(123)=23(8)−23(1)= \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3}(1)=32(8)−32(1)=163−23= \frac{16}{3} - \frac{2}{3}=316−32=143= \frac{14}{3}=314(2) ∫ee21x dx\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx∫ee2x1dx を計算します。1x\frac{1}{x}x1 の不定積分は ln∣x∣\ln|x|ln∣x∣ です。したがって、∫ee21x dx=[ln∣x∣]ee2\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln|x| \right]_{e}^{e^2}∫ee2x1dx=[ln∣x∣]ee2=ln(e2)−ln(e)= \ln(e^2) - \ln(e)=ln(e2)−ln(e)=2ln(e)−ln(e)= 2\ln(e) - \ln(e)=2ln(e)−ln(e)=2(1)−1= 2(1) - 1=2(1)−1=2−1= 2 - 1=2−1=1= 1=13. 最終的な答え(1) 143\frac{14}{3}314(2) 111