次の定積分を求めます。 (1) $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx$ (2) $\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx$

解析学定積分積分計算不定積分ルート対数関数
2025/7/24

1. 問題の内容

次の定積分を求めます。
(1) 14xdx\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx
(2) ee21xdx\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx

2. 解き方の手順

(1) 14xdx\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx を計算します。
x\sqrt{x}x12x^{\frac{1}{2}} と書き換えます。
x12x^{\frac{1}{2}} の不定積分は 23x32\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} です。
したがって、
14xdx=[23x32]14\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4}
=23(432)23(132)= \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}})
=23(8)23(1)= \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3}(1)
=16323= \frac{16}{3} - \frac{2}{3}
=143= \frac{14}{3}
(2) ee21xdx\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx を計算します。
1x\frac{1}{x} の不定積分は lnx\ln|x| です。
したがって、
ee21xdx=[lnx]ee2\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln|x| \right]_{e}^{e^2}
=ln(e2)ln(e)= \ln(e^2) - \ln(e)
=2ln(e)ln(e)= 2\ln(e) - \ln(e)
=2(1)1= 2(1) - 1
=21= 2 - 1
=1= 1

3. 最終的な答え

(1) 143\frac{14}{3}
(2) 11

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