定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin \theta d\theta$ の値を計算します。

## 3) $\int_{0}^{\pi} \sin \theta d\theta$

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin \theta d\theta$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin \theta$ の不定積分は $-\cos \theta$ であることを利用します。

定積分の定義に従い、積分範囲の端点の値を代入して計算します。

$\int_{0}^{\pi} \sin \theta d\theta = [-\cos \theta]_{0}^{\pi}$

$= -\cos(\pi) - (-\cos(0))$

$= -(-1) - (-1)$

$= 1 + 1$

$= 2$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\pi} \sin \theta d\theta = 2$

## 4) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt$

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

$\cos t$ の不定積分は $\sin t$ であることを利用します。

定積分の定義に従い、積分範囲の端点の値を代入して計算します。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt = [\sin t]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})$

$= 1 - (-1)$

$= 1 + 1$

$= 2$

3. 最終的な答え

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt = 2$

## 5) $\int_{0}^{\log 2} e^{3x} dx$

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\log 2} e^{3x} dx$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

$e^{3x}$ の不定積分は $\frac{1}{3}e^{3x}$ であることを利用します。

定積分の定義に従い、積分範囲の端点の値を代入して計算します。

$\int_{0}^{\log 2} e^{3x} dx = [\frac{1}{3}e^{3x}]_{0}^{\log 2}$

$= \frac{1}{3}e^{3\log 2} - \frac{1}{3}e^{3(0)}$

$= \frac{1}{3}e^{\log 2^3} - \frac{1}{3}e^{0}$

$= \frac{1}{3}(2^3) - \frac{1}{3}(1)$

$= \frac{1}{3}(8) - \frac{1}{3}$

$= \frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

$= \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\log 2} e^{3x} dx = \frac{7}{3}$

## 6) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x + \cos 3x) dx$

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x + \cos 3x) dx$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin 2x$ の不定積分は $-\frac{1}{2} \cos 2x$ であり、$\cos 3x$ の不定積分は $\frac{1}{3} \sin 3x$ であることを利用します。

定積分の定義に従い、積分範囲の端点の値を代入して計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x + \cos 3x) dx = [-\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{3} \sin 3x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$= (-\frac{1}{2} \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{3} \sin(3 \cdot \frac{\pi}{4})) - (-\frac{1}{2} \cos(2 \cdot 0) + \frac{1}{3} \sin(3 \cdot 0))$

$= (-\frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{3} \sin(\frac{3\pi}{4})) - (-\frac{1}{2} \cos(0) + \frac{1}{3} \sin(0))$

$= (-\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0)$

$= (0 + \frac{\sqrt{2}}{6}) - (-\frac{1}{2} + 0)$

$= \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{1}{2}$

$= \frac{\sqrt{2} + 3}{6}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x + \cos 3x) dx = \frac{\sqrt{2} + 3}{6}$

## 7) $\int_{1}^{2} \sin(\frac{2}{3}\pi t + \frac{\pi}{4}) dt$

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \sin(\frac{2}{3}\pi t + \frac{\pi}{4}) dt$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin(\frac{2}{3}\pi t + \frac{\pi}{4})$ の不定積分は $-\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{2}{3}\pi t + \frac{\pi}{4})$ であることを利用します。

定積分の定義に従い、積分範囲の端点の値を代入して計算します。

$\int_{1}^{2} \sin(\frac{2}{3}\pi t + \frac{\pi}{4}) dt = [-\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{2}{3}\pi t + \frac{\pi}{4})]_{1}^{2}$

$= -\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{2}{3}\pi (2) + \frac{\pi}{4}) - (-\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{2}{3}\pi (1) + \frac{\pi}{4}))$

$= -\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) + \frac{3}{2\pi} \cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4})$

$= -\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{16\pi + 3\pi}{12}) + \frac{3}{2\pi} \cos(\frac{8\pi + 3\pi}{12})$

$= -\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{19\pi}{12}) + \frac{3}{2\pi} \cos(\frac{11\pi}{12})$

$= \frac{3}{2\pi} (\cos(\frac{11\pi}{12}) - \cos(\frac{19\pi}{12}))$

ここで、

$\cos(\frac{11\pi}{12}) = \cos(165^{\circ}) = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\cos(\frac{19\pi}{12}) = \cos(285^{\circ}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$= \frac{3}{2\pi} (-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})$

$= \frac{3}{2\pi} (\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}) = \frac{3}{2\pi}(\frac{-2\sqrt{6}}{4}) = \frac{3}{2\pi}(\frac{-\sqrt{6}}{2}) = -\frac{3\sqrt{6}}{4\pi}$

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{2} \sin(\frac{2}{3}\pi t + \frac{\pi}{4}) dt = -\frac{3\sqrt{6}}{4\pi}$