定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx$ を計算する。

承知いたしました。画像にある積分問題のうち、問題(13) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx$ を解きます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^2+1}$ の不定積分を求める。これは $\arctan x$ である。すなわち、

$\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan x + C$

次に、定積分の定義に従い、不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算する。

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx = [\arctan x]_{-1}^{1} = \arctan(1) - \arctan(-1)$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ である。

また、$\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$ である。

したがって、

$\arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx = \frac{\pi}{2}$