与えられた陰関数について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めます。 (1) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ (2) $x^4 + y^4 - 1 = 0$ (3) $\log \sqrt{x^2 + y^2} = \arctan(\frac{y}{x})$

はい、承知いたしました。与えられた陰関数に対して、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める問題ですね。一つずつ解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた陰関数について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めます。

(1) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$

(2) $x^4 + y^4 - 1 = 0$

(3) $\log \sqrt{x^2 + y^2} = \arctan(\frac{y}{x})$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$

* 手順1: 両辺を $x$ で微分します。

$2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} + 4y\frac{dy}{dx} = 0$

* 手順2: $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$(2x + 4y)\frac{dy}{dx} = -2x - 2y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 2y}{2x + 4y} = -\frac{x+y}{x+2y}$

* 手順3: $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めるために、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ で微分します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1+\frac{dy}{dx})(x+2y) - (x+y)(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}$

* 手順4: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x+2y}$ を代入します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1-\frac{x+y}{x+2y})(x+2y) - (x+y)(1-2\frac{x+y}{x+2y})}{(x+2y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(x+2y-x-y) - (x+y)(\frac{x+2y-2x-2y}{x+2y})}{(x+2y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - (x+y)(\frac{-x}{x+2y})}{(x+2y)^2} = -\frac{y(x+2y) + x(x+y)}{(x+2y)^3} = -\frac{xy + 2y^2 + x^2 + xy}{(x+2y)^3} = -\frac{x^2 + 2xy + 2y^2}{(x+2y)^3}$

問題文の式 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ より

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(x+2y)^3}$

(2) $x^4 + y^4 - 1 = 0$

* 手順1: 両辺を $x$ で微分します。

$4x^3 + 4y^3\frac{dy}{dx} = 0$

* 手順2: $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^3}{4y^3} = -\frac{x^3}{y^3}$

* 手順3: $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めるために、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ で微分します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3x^2y^3 - x^3(3y^2\frac{dy}{dx})}{y^6}$

* 手順4: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^3}{y^3}$ を代入します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3x^2y^3 - x^3(3y^2(-\frac{x^3}{y^3}))}{y^6} = -\frac{3x^2y^3 + 3x^6y^{-1}}{y^6} = -\frac{3x^2y^4 + 3x^6}{y^7} = -\frac{3x^2(y^4 + x^4)}{y^7}$

問題文の式 $x^4 + y^4 - 1 = 0$ より $x^4 + y^4 = 1$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3x^2}{y^7}$

(3) $\log \sqrt{x^2 + y^2} = \arctan(\frac{y}{x})$

* 手順1: 式を整理します。$\log \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \log(x^2 + y^2)$

$\frac{1}{2} \log(x^2 + y^2) = \arctan(\frac{y}{x})$

* 手順2: 両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2x + 2y\frac{dy}{dx}}{x^2 + y^2} = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2}$

$\frac{x + y\frac{dy}{dx}}{x^2 + y^2} = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2}$

$\frac{x + y\frac{dy}{dx}}{x^2 + y^2} = \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2 + y^2}$

$x + y\frac{dy}{dx} = x\frac{dy}{dx} - y$

* 手順3: $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$x + y = x\frac{dy}{dx} - y\frac{dy}{dx}$

$x + y = (x-y)\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$

* 手順4: $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めるために、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ で微分します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(1+\frac{dy}{dx})(x-y) - (x+y)(1-\frac{dy}{dx})}{(x-y)^2}$

* 手順5: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$ を代入します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(1+\frac{x+y}{x-y})(x-y) - (x+y)(1-\frac{x+y}{x-y})}{(x-y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(x-y+x+y) - (x+y)(\frac{x-y-x-y}{x-y})}{(x-y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2x - (x+y)(\frac{-2y}{x-y})}{(x-y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2x(x-y) + 2y(x+y)}{(x-y)^3} = \frac{2x^2 - 2xy + 2xy + 2y^2}{(x-y)^3} = \frac{2(x^2+y^2)}{(x-y)^3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x+2y}$, $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(x+2y)^3}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^3}{y^3}$, $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3x^2}{y^7}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(x^2+y^2)}{(x-y)^3}$