(1) 2重積分 $\int_{0}^{1} dx \int_{x}^{2x} 2x^2 y dy$ を計算します。 (2) 領域 $D: \sqrt{x} + \sqrt{y} \leq 1$ における2重積分 $\iint_D y dxdy$ を計算します。

はい、承知しました。次の積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 2重積分 $\int_{0}^{1} dx \int_{x}^{2x} 2x^2 y dy$ を計算します。

(2) 領域 $D: \sqrt{x} + \sqrt{y} \leq 1$ における2重積分 $\iint_D y dxdy$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) まず内側の積分を計算します。

$\int_{x}^{2x} 2x^2 y dy = 2x^2 \int_{x}^{2x} y dy = 2x^2 [\frac{1}{2}y^2]_{x}^{2x} = 2x^2 (\frac{1}{2}(4x^2) - \frac{1}{2}x^2) = 2x^2 (\frac{3}{2}x^2) = 3x^4$

次に外側の積分を計算します。

$\int_{0}^{1} 3x^4 dx = 3 \int_{0}^{1} x^4 dx = 3 [\frac{1}{5}x^5]_{0}^{1} = 3(\frac{1}{5} - 0) = \frac{3}{5}$

(2) まず領域$D$を考えます。$\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq 1$ より、$\sqrt{y} \leq 1 - \sqrt{x}$ となり、$y \leq (1 - \sqrt{x})^2$です。また、$x, y \geq 0$ である必要があるので、$0 \leq x \leq 1$です。

したがって、$0 \leq x \leq 1$、 $0 \leq y \leq (1 - \sqrt{x})^2$ となります。

$\iint_D y dxdy = \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{(1-\sqrt{x})^2} y dy = \int_{0}^{1} dx [\frac{1}{2}y^2]_{0}^{(1-\sqrt{x})^2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1 - \sqrt{x})^4 dx$

ここで、$u = \sqrt{x}$とおくと、$x = u^2$, $dx = 2u du$となり、$x: 0 \to 1$のとき、$u: 0 \to 1$となるので、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1-u)^4 2u du = \int_{0}^{1} (1-u)^4 u du$

ここで、$t = 1-u$とおくと、$u = 1-t$, $du = -dt$となり、$u: 0 \to 1$のとき、$t: 1 \to 0$となるので、

$\int_{1}^{0} t^4 (1-t) (-dt) = \int_{0}^{1} t^4 (1-t) dt = \int_{0}^{1} (t^4 - t^5) dt = [\frac{1}{5}t^5 - \frac{1}{6}t^6]_{0}^{1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6 - 5}{30} = \frac{1}{30}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{5}$

(2) $\frac{1}{30}$