与えられた積分問題を解きます。 30 (1) $\int xe^{-2x} dx$ (不定積分) 30 (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$ (定積分) 31 (1) $\int x^2 e^{-x} dx$ (不定積分) 31 (2) $\int_{0}^{\pi} x^2 \sin x dx$ (定積分)

1. 問題の内容

与えられた積分問題を解きます。

30 (1) $\int xe^{-2x} dx$ (不定積分)

30 (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$ (定積分)

31 (1) $\int x^2 e^{-x} dx$ (不定積分)

31 (2) $\int_{0}^{\pi} x^2 \sin x dx$ (定積分)

2. 解き方の手順

30 (1) $\int xe^{-2x} dx$

部分積分法を使います。$u = x$, $dv = e^{-2x}dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$。

したがって、

$\int xe^{-2x} dx = x(-\frac{1}{2}e^{-2x}) - \int (-\frac{1}{2}e^{-2x}) dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}e^{-2x}) + C = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$

30 (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$

$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ であることを利用します。$\int \sec^2 x dx = \tan x$

部分積分法を使います。$u = x$, $dv = \sec^2 x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \tan x$。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \sec^2 x dx = [x \tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = (\frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4} - 0 \tan 0) - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = \frac{\pi}{4} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$。$t = \cos x$ とすると、$dt = -\sin x dx$。

$\int \tan x dx = \int \frac{-dt}{t} = -\ln |t| = -\ln |\cos x|$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = [-\ln |\cos x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\ln |\cos \frac{\pi}{4}| - (-\ln |\cos 0|) = -\ln \frac{\sqrt{2}}{2} + \ln 1 = -\ln \frac{\sqrt{2}}{2} = -\ln 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln 2$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$

31 (1) $\int x^2 e^{-x} dx$

部分積分法を2回使います。

まず、$u = x^2$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = -e^{-x}$。

$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - \int -e^{-x} (2x) dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx$

次に、$u = x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$。

$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int -e^{-x} dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C$

したがって、

$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2(-x e^{-x} - e^{-x}) + C = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C$

31 (2) $\int_{0}^{\pi} x^2 \sin x dx$

部分積分法を2回使います。

まず、$u = x^2$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = -\cos x$。

$\int_{0}^{\pi} x^2 \sin x dx = [-x^2 \cos x]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos x) (2x) dx = [-\pi^2 \cos \pi - 0] + 2 \int_{0}^{\pi} x \cos x dx = \pi^2 + 2 \int_{0}^{\pi} x \cos x dx$

次に、$u = x$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$。

$\int_{0}^{\pi} x \cos x dx = [x \sin x]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \sin x dx = [\pi \sin \pi - 0 \sin 0] - [-\cos x]_{0}^{\pi} = 0 - (-\cos \pi + \cos 0) = 0 - (-(-1) + 1) = -2$

したがって、

$\int_{0}^{\pi} x^2 \sin x dx = \pi^2 + 2(-2) = \pi^2 - 4$

3. 最終的な答え

30 (1) $-\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$

30 (2) $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$

31 (1) $-e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C$

31 (2) $\pi^2 - 4$