積分 $\iint_D x^3 y \, dxdy$ を、領域 $D: x^2 + y^2 \le 1, 0 \le x \le y$ で極座標変換を用いて計算する。

1. 問題の内容

積分 $\iint_D x^3 y \, dxdy$ を、領域 $D: x^2 + y^2 \le 1, 0 \le x \le y$ で極座標変換を用いて計算する。

2. 解き方の手順

まず、極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を行う。ヤコビアンは $r$ である。領域 $D$ は $x^2 + y^2 \le 1$ より $r^2 \le 1$、つまり $0 \le r \le 1$。また、$0 \le x \le y$ は $0 \le r\cos\theta \le r\sin\theta$ となり、$r > 0$ より $0 \le \cos\theta \le \sin\theta$。これを満たす $\theta$ の範囲は $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。

したがって、積分は以下のようになる。

$$\iint_D x^3 y \, dxdy = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 (r\cos\theta)^3 (r\sin\theta) r \, dr d\theta$$

$$= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 r^5 \cos^3\theta \sin\theta \, dr d\theta$$

まず、$r$ について積分する。

$$\int_0^1 r^5 \, dr = \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{6}$$

次に、$\theta$ について積分する。

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3\theta \sin\theta \, d\theta$$

$u = \cos\theta$ とおくと、$du = -\sin\theta d\theta$。

$$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^0 u^3 (-du) = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^4}{4} = \frac{(\frac{4}{16})}{4} = \frac{1}{16}$$

したがって、積分の値は

$$\frac{1}{6} \times \frac{1}{16} = \frac{1}{96}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{96}$