与えられた3つの2変数関数 $f(x,y)$ の極値を求める問題です。定義域が指定されているものもあります。 (1) $f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 6x - 4y$ (2) $f(x,y) = e^x(x^2 + y^2)$ (3) $f(x,y) = \sin x + \sin y + \cos(x+y), (-\pi \le x, y \le \pi)$

1. 問題の内容

与えられた3つの2変数関数 $f(x,y)$ の極値を求める問題です。定義域が指定されているものもあります。

(1) $f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 6x - 4y$

(2) $f(x,y) = e^x(x^2 + y^2)$

(3) $f(x,y) = \sin x + \sin y + \cos(x+y), (-\pi \le x, y \le \pi)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、偏微分を計算します。

$f_x = 2x + y - 6$

$f_y = x + 2y - 4$

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となる点を求めます。

$2x + y - 6 = 0$

$x + 2y - 4 = 0$

この連立方程式を解くと、$x = 8/3$、 $y = 2/3$ となります。

次に、2階偏微分を計算します。

$f_{xx} = 2$

$f_{yy} = 2$

$f_{xy} = 1$

ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \cdot 2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 > 0$

$f_{xx} = 2 > 0$ より、$(8/3, 2/3)$ で極小値を取ります。

極小値は $f(8/3, 2/3) = (8/3)^2 + (8/3)(2/3) + (2/3)^2 - 6(8/3) - 4(2/3) = 64/9 + 16/9 + 4/9 - 48/3 - 8/3 = 84/9 - 56/3 = 28/3 - 56/3 = -28/3$ です。

(2)

まず、偏微分を計算します。

$f_x = e^x(x^2 + y^2) + e^x(2x) = e^x(x^2 + 2x + y^2)$

$f_y = e^x(2y)$

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となる点を求めます。

$e^x(x^2 + 2x + y^2) = 0$

$e^x(2y) = 0$

$e^x > 0$ なので、$y = 0$。

$x^2 + 2x + y^2 = x^2 + 2x = x(x+2) = 0$ なので、$x = 0$ または $x = -2$。

よって、$(0,0)$ と $(-2,0)$ が候補となります。

次に、2階偏微分を計算します。

$f_{xx} = e^x(x^2 + 2x + y^2) + e^x(2x + 2) = e^x(x^2 + 4x + 2 + y^2)$

$f_{yy} = 2e^x$

$f_{xy} = 2ye^x$

$(0,0)$ において、

$f_{xx} = 2, f_{yy} = 2, f_{xy} = 0$

$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0$

$f_{xx} = 2 > 0$ より、$(0,0)$ で極小値を取ります。

極小値は $f(0,0) = e^0(0^2 + 0^2) = 1 \cdot 0 = 0$ です。

$(-2,0)$ において、

$f_{xx} = e^{-2}(4 - 8 + 2) = -2e^{-2}, f_{yy} = 2e^{-2}, f_{xy} = 0$

$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = -2e^{-2} \cdot 2e^{-2} - 0^2 = -4e^{-4} < 0$

よって、鞍点であり極値を持ちません。

(3)

まず、偏微分を計算します。

$f_x = \cos x - \sin(x+y)$

$f_y = \cos y - \sin(x+y)$

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となる点を求めます。

$\cos x = \sin(x+y)$

$\cos y = \sin(x+y)$

よって、$\cos x = \cos y$ なので、$x = y$ または $x = -y$。

(i) $x = y$ のとき、

$\cos x = \sin(2x) = 2 \sin x \cos x$

$\cos x (1 - 2 \sin x) = 0$

$\cos x = 0$ または $\sin x = 1/2$

$\cos x = 0$ のとき、$x = \pm \pi/2$ なので、$(\pi/2, \pi/2), (-\pi/2, -\pi/2)$

$\sin x = 1/2$ のとき、$x = \pi/6, 5\pi/6$ なので、$(\pi/6, \pi/6), (5\pi/6, 5\pi/6)$

(ii) $x = -y$ のとき、

$\cos x = \sin(x+y) = \sin(0) = 0$

$x = \pm \pi/2$ なので、$(\pi/2, -\pi/2), (-\pi/2, \pi/2)$

次に、2階偏微分を計算します。

$f_{xx} = -\sin x - \cos(x+y)$

$f_{yy} = -\sin y - \cos(x+y)$

$f_{xy} = -\cos(x+y)$

$(\pi/2, \pi/2)$ において、

$f_{xx} = -1 - \cos(\pi) = -1 + 1 = 0$

$f_{yy} = 0$

$f_{xy} = - \cos(\pi) = 1$

$D = 0 \cdot 0 - 1^2 = -1 < 0$ なので、鞍点です。

$(-\pi/2, -\pi/2)$ において、

$f_{xx} = 1 - \cos(-\pi) = 1 + 1 = 2$

$f_{yy} = 2$

$f_{xy} = - \cos(-\pi) = 1$

$D = 2 \cdot 2 - 1^2 = 3 > 0$ かつ $f_{xx} > 0$ なので、極小値です。

$f(-\pi/2, -\pi/2) = -1 - 1 + \cos(-\pi) = -2 - 1 = -3$

$(\pi/6, \pi/6)$ において、

$f_{xx} = -1/2 - \cos(\pi/3) = -1/2 - 1/2 = -1$

$f_{yy} = -1$

$f_{xy} = - \cos(\pi/3) = -1/2$

$D = (-1)(-1) - (-1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4 > 0$ かつ $f_{xx} < 0$ なので、極大値です。

$f(\pi/6, \pi/6) = 1/2 + 1/2 + \cos(\pi/3) = 1 + 1/2 = 3/2$

$(5\pi/6, 5\pi/6)$ において、

$f_{xx} = -1/2 - \cos(5\pi/3) = -1/2 - 1/2 = -1$

$f_{yy} = -1$

$f_{xy} = - \cos(5\pi/3) = -1/2$

$D = (-1)(-1) - (-1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4 > 0$ かつ $f_{xx} < 0$ なので、極大値です。

$f(5\pi/6, 5\pi/6) = 1/2 + 1/2 + \cos(5\pi/3) = 1 + 1/2 = 3/2$

$(\pi/2, -\pi/2)$ において、

$f_{xx} = -1 - \cos(0) = -2$

$f_{yy} = -(-1) - \cos(0) = 1 - 1 = 0$

$f_{xy} = - \cos(0) = -1$

$D = -2 \cdot 0 - (-1)^2 = -1 < 0$ なので、鞍点です。

$(-\pi/2, \pi/2)$ において、

$f_{xx} = 1 - \cos(0) = 0$

$f_{yy} = -1 - \cos(0) = -2$

$f_{xy} = - \cos(0) = -1$

$D = 0 \cdot (-2) - (-1)^2 = -1 < 0$ なので、鞍点です。

3. 最終的な答え

(1) $(8/3, 2/3)$ で極小値 $-28/3$

(2) $(0,0)$ で極小値 $0$

(3) $(-\pi/2, -\pi/2)$ で極小値 $-3$

$(\pi/6, \pi/6)$ と $(5\pi/6, 5\pi/6)$ で極大値 $3/2$