問題は、 $x \to 0$ のとき、次の関数が与えられた近似式で表せることを示す問題です。 (1) $\log(1+x) = x + o(x)$ (2) $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2)$ (3) $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + o(x^2)$ (4) $\cosh x = 1 + \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$

1. 問題の内容

問題は、 $x \to 0$ のとき、次の関数が与えられた近似式で表せることを示す問題です。

(1) $\log(1+x) = x + o(x)$

(2) $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2)$

(3) $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + o(x^2)$

(4) $\cosh x = 1 + \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$

2. 解き方の手順

(1) $\log(1+x)$ の場合：

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ で与えられます。

したがって、$\log(1+x) = x + (-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) = x + o(x)$ となります。

(2) $\sqrt{1+x}$ の場合：

$\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2}$ なので、二項定理を用いると、

$(1+x)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})}{2!}x^2 + \dots = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \dots$

したがって、$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2)$ となります。

(3) $\frac{1}{1+x}$ の場合：

$\frac{1}{1+x}$ は等比数列の和の公式から、$1 - x + x^2 - x^3 + \dots$ と展開できます。

したがって、$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + o(x^2)$ となります。

(4) $\cosh x$ の場合：

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ です。

$e^x$ のマクローリン展開は $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ であり、

$e^{-x}$ のマクローリン展開は $1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$ です。

したがって、$\cosh x = \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots) + (1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \dots)}{2} = \frac{2 + x^2 + o(x^2)}{2} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\log(1+x) = x + o(x)$

(2) $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2)$

(3) $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + o(x^2)$

(4) $\cosh x = 1 + \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$