関数 $x^2 e^{-x}$ の $n$ 階導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $x^2 e^{-x}$ の $n$ 階導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$e^{-x}$の導関数について考えます。

$e^{-x}$ を1回微分すると $-e^{-x}$、2回微分すると $e^{-x}$、3回微分すると $-e^{-x}$ となります。つまり、$e^{-x}$の $n$ 階導関数は $(-1)^n e^{-x}$ と表せます。

次に、ライプニッツの公式を使います。ライプニッツの公式とは、$n$ 階導関数を求める際に、$2$ つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 階導関数を求める公式で、以下のように表されます。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、$u(x) = x^2$、$v(x) = e^{-x}$ とします。

$u(x)$ の導関数は、

$u'(x) = 2x$

$u''(x) = 2$

$u'''(x) = 0$

となり、$3$ 階以上の導関数はすべて $0$ になります。

$v(x)$ の導関数は、$v^{(k)}(x) = (-1)^k e^{-x}$ です。

ライプニッツの公式にこれらの導関数を代入すると、

$(x^2 e^{-x})^{(n)} = {}_n C_0 (x^2)^{(n)} (e^{-x})^{(0)} + {}_n C_1 (x^2)^{(n-1)} (e^{-x})^{(1)} + {}_n C_2 (x^2)^{(n-2)} (e^{-x})^{(2)} + ... + {}_n C_n (x^2)^{(0)} (e^{-x})^{(n)}$

$u(x)$ の３階以上の導関数は0なので、以下のようになります。

$(x^2 e^{-x})^{(n)} = {}_n C_0 x^2 (e^{-x})^{(n)} + {}_n C_1 (2x) (e^{-x})^{(n-1)} + {}_n C_2 (2) (e^{-x})^{(n-2)}$

$= x^2 (-1)^n e^{-x} + n (2x) (-1)^{n-1} e^{-x} + \frac{n(n-1)}{2} (2) (-1)^{n-2} e^{-x}$

$= (-1)^n e^{-x} [x^2 - 2nx + n(n-1)]$

3. 最終的な答え

$(-1)^n e^{-x} (x^2 - 2nx + n(n-1))$