次の関数を微分してください。 $y = (\sin^{-1}x)^{n-1}$

1. 問題の内容

次の関数を微分してください。

$y = (\sin^{-1}x)^{n-1}$

2. 解き方の手順

関数 $y = (\sin^{-1}x)^{n-1}$ を $x$ で微分します。

まず、合成関数の微分法を用います。

$u = \sin^{-1}x$ とおくと、$y = u^{n-1}$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = (n-1)u^{n-2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = (n-1)u^{n-2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (n-1)(\sin^{-1}x)^{n-2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(n-1)(\sin^{-1}x)^{n-2}}{\sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{(n-1)(\sin^{-1}x)^{n-2}}{\sqrt{1-x^2}}$