全微分を求める問題です。 (a) $z = x^y$ (b) $z = x^2 + y^2$

1. 問題の内容

全微分を求める問題です。

(a) $z = x^y$

(b) $z = x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

(a) $z = x^y$ の全微分

まず、偏微分を求めます。

$\frac{\partial z}{\partial x} = yx^{y-1}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x^y \ln x$

全微分は次の式で求められます。

$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$

これに偏微分の結果を代入すると、

$dz = yx^{y-1}dx + x^y \ln x dy$

(b) $z = x^2 + y^2$ の全微分

まず、偏微分を求めます。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y$

全微分は次の式で求められます。

$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$

これに偏微分の結果を代入すると、

$dz = 2xdx + 2ydy$

3. 最終的な答え

(a) $dz = yx^{y-1}dx + x^y \ln x dy$

(b) $dz = 2xdx + 2ydy$