数直線上を運動する点Pがあり、時刻 $t$ におけるPの速度は $v = \sin 2t$ である。$t=0$ から $t=\pi$ までにPが通過する道のり $s$ を求める。

1. 問題の内容

数直線上を運動する点Pがあり、時刻 $t$ におけるPの速度は $v = \sin 2t$ である。$t=0$ から $t=\pi$ までにPが通過する道のり $s$ を求める。

2. 解き方の手順

道のりを求めるには、速度の絶対値を時間で積分する必要がある。

まず、速度が0になる時刻を求める。

$\sin 2t = 0$ より、$2t = n\pi$ ($n$は整数)。

したがって、$t = \frac{n\pi}{2}$ となる。

$0 \le t \le \pi$ の範囲では、$t = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$ となる。

次に、区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ と $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ で速度の符号を調べる。

$0 < t < \frac{\pi}{2}$ のとき、 $0 < 2t < \pi$ なので、 $\sin 2t > 0$。

$\frac{\pi}{2} < t < \pi$ のとき、 $\pi < 2t < 2\pi$ なので、 $\sin 2t < 0$。

よって、求める道のり $s$ は、

$$s = \int_0^{\pi} |\sin 2t| dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t dt + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\sin 2t) dt$$

それぞれの積分を計算する。

$$$$

\int \sin 2t dt = -\frac{1}{2} \cos 2t + C

$$$$

$$$$

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t dt = \left[ -\frac{1}{2} \cos 2t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2} \cos \pi - \left( -\frac{1}{2} \cos 0 \right) = -\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

$$$$

$$$$

\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\sin 2t) dt = \left[ \frac{1}{2} \cos 2t \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{1}{2} \cos 2\pi - \frac{1}{2} \cos \pi = \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2}(-1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

$$$$

したがって、

$$s = 1 + 1 = 2$$

3. 最終的な答え

2