2階偏導関数を求める問題です。関数 $z$ が $z = \sin{x} \cos^{2}{y}$ と定義されているときの、2階偏導関数を計算します。

1. 問題の内容

2階偏導関数を求める問題です。関数 $z$ が $z = \sin{x} \cos^{2}{y}$ と定義されているときの、2階偏導関数を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ に関する1階偏導関数を計算します。その後、得られた結果をさらに $x$ で偏微分することで、$x$ に関する2階偏導関数を計算します。次に、$y$ に関する1階偏導関数を計算します。その後、得られた結果をさらに $y$ で偏微分することで、$y$ に関する2階偏導関数を計算します。

* $z$ を $x$ で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\sin{x} \cos^{2}{y}) = \cos{x} \cos^{2}{y}$

* $\frac{\partial z}{\partial x}$ を $x$ で偏微分します。

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (\cos{x} \cos^{2}{y}) = -\sin{x} \cos^{2}{y}$

* $z$ を $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\sin{x} \cos^{2}{y}) = \sin{x} \cdot 2\cos{y} \cdot (-\sin{y}) = -2\sin{x} \cos{y} \sin{y}$

* $\frac{\partial z}{\partial y}$ を $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (-2\sin{x} \cos{y} \sin{y}) = -2\sin{x} (\cos{y}\cos{y} + \sin{y}(-\sin{y})) = -2\sin{x}(\cos^{2}{y} - \sin^{2}{y})$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = -\sin{x} \cos^{2}{y}$

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = -2\sin{x}(\cos^{2}{y} - \sin^{2}{y})$