$a>0$ とする。アステロイド $x = a\cos^3 t, y = a\sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$) が囲む部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$a>0$ とする。アステロイド $x = a\cos^3 t, y = a\sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$) が囲む部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

アステロイドの面積は、第1象限にある部分の面積の4倍である。第1象限では、$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ である。面積 $S$ は、

$S = 4 \int_0^a y dx$

で計算できる。パラメトリック表示されているので、$x = a\cos^3 t$ より $dx = -3a\cos^2 t \sin t dt$ である。また、$x$ が $a$ から $0$ に変化するとき、$t$ は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ に変化する。よって、

$S = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} a\sin^3 t \cdot (-3a\cos^2 t \sin t) dt$

$= -12a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos^2 t dt$

$= 12a^2 \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \sin^4 t \cos^2 t dt$

$= 12a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos^2 t dt$

ここで、$\sin^4 t \cos^2 t = (\sin^2 t)^2 \cos^2 t = (1-\cos^2 t)^2 \cos^2 t = (1 - 2\cos^2 t + \cos^4 t) \cos^2 t = \cos^2 t - 2\cos^4 t + \cos^6 t$ となる。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = \frac{1}{2} \left[ t + \frac{\sin(2t)}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 t dt = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^6 t dt = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{32}$

したがって、

$S = 12a^2 \left( \frac{\pi}{4} - 2 \cdot \frac{3\pi}{16} + \frac{5\pi}{32} \right) = 12a^2 \left( \frac{8\pi - 12\pi + 5\pi}{32} \right) = 12a^2 \left( \frac{\pi}{32} \right) = \frac{3\pi a^2}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\pi a^2}{8}$