与えられた関数 $z = \sin x \cos^2 x$ の2階偏導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $z = \sin x \cos^2 x$ の2階偏導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ に関する1階偏導関数を求めます。積の微分法則を使用します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\sin x \cos^2 x) = \cos x \cdot \cos^2 x + \sin x \cdot 2 \cos x (-\sin x)$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \cos^3 x - 2 \sin^2 x \cos x$

次に、$x$ に関する2階偏導関数を求めます。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (\cos^3 x - 2 \sin^2 x \cos x) = \frac{\partial}{\partial x} (\cos^3 x) - 2 \frac{\partial}{\partial x} (\sin^2 x \cos x)$

$\frac{\partial}{\partial x} (\cos^3 x) = 3 \cos^2 x (-\sin x) = -3 \cos^2 x \sin x$

$\frac{\partial}{\partial x} (\sin^2 x \cos x) = 2 \sin x \cos x \cos x + \sin^2 x (-\sin x) = 2 \sin x \cos^2 x - \sin^3 x$

よって、

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -3 \cos^2 x \sin x - 2(2 \sin x \cos^2 x - \sin^3 x) = -3 \cos^2 x \sin x - 4 \sin x \cos^2 x + 2 \sin^3 x$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -7 \cos^2 x \sin x + 2 \sin^3 x$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いると、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ なので、

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -7 (1 - \sin^2 x) \sin x + 2 \sin^3 x = -7 \sin x + 7 \sin^3 x + 2 \sin^3 x$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -7 \sin x + 9 \sin^3 x$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -7\sin x + 9\sin^3 x$