関数 $f(x) = \frac{4}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 6x - 3$ について、$-3 \le x \le a$ の範囲における最大値を求めよ。ただし、$a > -3$ とする。また、$-3 < a \le \frac{89}{10}$のとき、最大値は$\frac{4}{3}a^3 + \frac{5}{2}a^2 - 6a - 3$、$\frac{67}{10} < a < \frac{89}{10}$のとき、最大値は$\frac{25}{3}$となる。空白を埋める問題。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{4}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 6x - 3$ について、$-3 \le x \le a$ の範囲における最大値を求めよ。ただし、$a > -3$ とする。また、$-3 < a \le \frac{89}{10}$のとき、最大値は$\frac{4}{3}a^3 + \frac{5}{2}a^2 - 6a - 3$、$\frac{67}{10} < a < \frac{89}{10}$のとき、最大値は$\frac{25}{3}$となる。空白を埋める問題。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 4x^2 + 5x - 6$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$4x^2 + 5x - 6 = 0$

$(4x - 3)(x + 2) = 0$

$x = \frac{3}{4}, -2$

$x = \frac{3}{4} = 0.75$のとき、$f(\frac{3}{4}) = \frac{4}{3}(\frac{3}{4})^3 + \frac{5}{2}(\frac{3}{4})^2 - 6(\frac{3}{4}) - 3 = \frac{9}{16} + \frac{45}{32} - \frac{9}{2} - 3 = \frac{18 + 45 - 144 - 96}{32} = \frac{-177}{32} \approx -5.53$

$x = -2$のとき、$f(-2) = \frac{4}{3}(-2)^3 + \frac{5}{2}(-2)^2 - 6(-2) - 3 = -\frac{32}{3} + 10 + 12 - 3 = -\frac{32}{3} + 19 = \frac{-32 + 57}{3} = \frac{25}{3} \approx 8.33$

$f(-3) = \frac{4}{3}(-3)^3 + \frac{5}{2}(-3)^2 - 6(-3) - 3 = -36 + \frac{45}{2} + 18 - 3 = -21 + \frac{45}{2} = \frac{-42 + 45}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

$-3 < a \le \frac{3}{4}$のとき、最大値は$f(-3) = \frac{3}{2}$

$\frac{3}{4} < a < -2$のとき、最大値は$f(-3) = \frac{3}{2}$

$-2 \le a \le \frac{3}{4}$のとき、最大値は$f(-2) = \frac{25}{3}$

$\frac{3}{4} < a$のとき、最大値は$f(a) = \frac{4}{3}a^3 + \frac{5}{2}a^2 - 6a - 3$

問題文より、$-3 < a \le \frac{67}{10}$のときと$\frac{67}{10} < a < \frac{89}{10}$のときを考える。

$\frac{25}{3} = \frac{4}{3}a^3 + \frac{5}{2}a^2 - 6a - 3$

$25 = 4a^3 + \frac{15}{2}a^2 - 18a - 9$

$50 = 8a^3 + 15a^2 - 36a - 18$

$8a^3 + 15a^2 - 36a - 68 = 0$

$a=2.5$のとき、$8(2.5)^3 + 15(2.5)^2 - 36(2.5) - 68 = 125 + 93.75 - 90 - 68 = 60.75 \ne 0$

$a = \frac{3}{4}$のとき、$\frac{4}{3}(\frac{3}{4})^3 + \frac{5}{2}(\frac{3}{4})^2 - 6(\frac{3}{4}) - 3 = \frac{-177}{32} \approx -5.53$

$-3 < a \le \frac{67}{10}$のとき、$\frac{67}{10}=6.7$,$\frac{89}{10}=8.9$なので、$\frac{3}{4} \le a$

$x = \frac{3}{4}$と$x = -2$の間に$a$がある場合、$f(-2)=\frac{25}{3}$が最大値をとる。

$-3 < a \le -2$のとき、最大値は$\frac{25}{3}$

$-2 < a \le \frac{3}{4}$のとき、最大値は$\frac{25}{3}$

$\frac{3}{4} < a \le \frac{67}{10}$のとき、最大値は$\frac{4}{3}a^3 + \frac{5}{2}a^2 - 6a - 3$

$\frac{67}{10} < a < \frac{89}{10}$のとき、最大値は$\frac{25}{3}$

よって、$-3 < a \le \frac{67}{10}$であり、$a > \frac{3}{4}$なので、$\frac{67}{10} \ge -2$の条件が正しい。

$f(-2)=\frac{25}{3}$

$\frac{3}{4} \le a \le \frac{67}{10}$のとき、最大値$\frac{4}{3}a^3 + \frac{5}{2}a^2 - 6a - 3$

$\frac{67}{10} < a < \frac{89}{10}$のとき、最大値$\frac{25}{3}$となる。

3. 最終的な答え

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