問題は、与えられた2つの関数 $z$ について、全微分を求めることであると思われます。 (a) $z = xy$ (b) $z = x^2 + y^2$

1. 問題の内容

問題は、与えられた2つの関数 $z$ について、全微分を求めることであると思われます。

(a) $z = xy$

(b) $z = x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

全微分は、多変数関数の微小変化を表すもので、各変数の偏微分にその変数の微小変化を掛けたものの和で表されます。

(a) $z = xy$ の場合:

$z$ を $x$ で偏微分すると、 $\frac{\partial z}{\partial x} = y$

$z$ を $y$ で偏微分すると、 $\frac{\partial z}{\partial y} = x$

したがって、全微分 $dz$ は、

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = ydx + xdy$

(b) $z = x^2 + y^2$ の場合:

$z$ を $x$ で偏微分すると、 $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$

$z$ を $y$ で偏微分すると、 $\frac{\partial z}{\partial y} = 2y$

したがって、全微分 $dz$ は、

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = 2xdx + 2ydy$

3. 最終的な答え

(a) $dz = ydx + xdy$

(b) $dz = 2xdx + 2ydy$