与えられた問題は、次の級数の和を求めることです。 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)(k+3)}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の級数の和を求めることです。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)(k+3)}$

2. 解き方の手順

この級数を計算するために、部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{(k+1)(k+3)}$ を $\frac{A}{k+1} + \frac{B}{k+3}$ の形に変形します。

両辺に $(k+1)(k+3)$ をかけると、

$1 = A(k+3) + B(k+1)$

となります。

$k = -1$ のとき、

$1 = A(-1+3) + B(-1+1) = 2A$

したがって、$A = \frac{1}{2}$

$k = -3$ のとき、

$1 = A(-3+3) + B(-3+1) = -2B$

したがって、$B = -\frac{1}{2}$

よって、

$\frac{1}{(k+1)(k+3)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3}\right)$

したがって、求める級数は、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)(k+3)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3}\right)$

$= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) + \left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3}\right)\right]$

この級数は望遠鏡級数であり、多くの項が打ち消し合います。具体的には、

$\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\frac{5}{6} - \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{5(n+2)(n+3) - 6(2n+5)}{6(n+2)(n+3)}\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\frac{5(n^2+5n+6) - 12n-30}{6(n+2)(n+3)}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{5n^2+25n+30-12n-30}{6(n+2)(n+3)}\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\frac{5n^2+13n}{6(n+2)(n+3)}\right) = \frac{n(5n+13)}{12(n+2)(n+3)}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)(k+3)} = \frac{n(5n+13)}{12(n+2)(n+3)}$