$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{ax+b}{\cos x} = 3$ が成立するように、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{ax+b}{\cos x} = 3$ が成立するように、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x \to 0$ である。したがって、$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{ax+b}{\cos x}$ が有限の値に収束するためには、$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (ax+b) = 0$ である必要がある。

したがって、

$$a \cdot \frac{\pi}{2} + b = 0$$

$$b = -\frac{a\pi}{2}$$

これを元の式に代入すると、

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{ax - \frac{a\pi}{2}}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{a(x - \frac{\pi}{2})}{\cos x} = 3$$

ここで、$x - \frac{\pi}{2} = t$ とおくと、$x = t + \frac{\pi}{2}$ であり、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$ となる。

$$\lim_{t \to 0} \frac{at}{\cos(t+\frac{\pi}{2})} = \lim_{t \to 0} \frac{at}{-\sin t} = 3$$

$$\lim_{t \to 0} \frac{a}{-\frac{\sin t}{t}} = -a \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{\sin t}{t}} = -a = 3$$

したがって、$a = -3$ であり、$b = -\frac{a\pi}{2} = -\frac{(-3)\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ となる。

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = \frac{3\pi}{2}$