画像の問題は三角関数に関する問題です。 (1) $2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ を三角関数で表し、$f(\frac{\pi}{6})$ を計算します。また、$0 \le \theta < 2\pi$ において、$g(\theta) = 0$ となる $\theta$ の値の和を求めます。 (2) $0 < \theta < \pi$ において、$f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値を $\alpha$ とします。$X = \cos \alpha$, $Y = \sin \alpha$ とおき、関係式を導出し、$\tan \alpha$ および $\alpha$ に最も近い値を求めます。 (3) $0 \le \theta < 2\pi$ において、$f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値は 2 つあり、1 つは $\alpha$ です。もう一つの解を $\beta$ とおき、座標平面における交点を考えることで、$\tan \frac{\alpha + \beta}{2}$ を求めます。

1. 問題の内容

画像の問題は三角関数に関する問題です。

(1) $2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ を三角関数で表し、$f(\frac{\pi}{6})$ を計算します。また、$0 \le \theta < 2\pi$ において、$g(\theta) = 0$ となる $\theta$ の値の和を求めます。

(2) $0 < \theta < \pi$ において、$f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値を $\alpha$ とします。$X = \cos \alpha$, $Y = \sin \alpha$ とおき、関係式を導出し、$\tan \alpha$ および $\alpha$ に最も近い値を求めます。

(3) $0 \le \theta < 2\pi$ において、$f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値は 2 つあり、1 つは $\alpha$ です。もう一つの解を $\beta$ とおき、座標平面における交点を考えることで、$\tan \frac{\alpha + \beta}{2}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + \cos \theta$

$f(\theta) = 1 + \cos \theta - 2 \sin \theta$

$f(\frac{\pi}{6}) = 1 + \cos \frac{\pi}{6} - 2 \sin \frac{\pi}{6} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 2(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$g(\theta) = \sin \theta - \cos \theta - 1 = 0$

$\sin \theta - \cos \theta = 1$

$\sqrt{2} \sin (\theta - \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin (\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{2}, \pi$

$\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$

(2)

$f(\theta) = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 2 \sin \theta = 1 + \cos \theta - 2 \sin \theta$

$g(\theta) = \sin \theta - \cos \theta - 1$

$f(\theta) = g(\theta) \implies 1 + \cos \theta - 2 \sin \theta = \sin \theta - \cos \theta - 1$

$2 \cos \theta - 3 \sin \theta + 2 = 0$

$2X - 3Y + 2 = 0$

$X = \cos \alpha, Y = \sin \alpha$

$X^2 + Y^2 = 1$

$2X - 3Y + 2 = 0 \implies 3Y = 2X + 2 \implies Y = \frac{2}{3} X + \frac{2}{3}$

$0 < \alpha < \pi$ より、$Y > 0$

$\tan \alpha = \frac{Y}{X} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

$2X - 3Y = -2$

$4 X^2 - 12 X Y + 9 Y^2 = 4$

$4 X^2 + 4 Y^2 = 4$

$4 X^2 + 4(\frac{2}{3} X + \frac{2}{3})^2 = 4$

$36 X^2 + 4(4X^2 + 8X + 4) = 36$

$36 X^2 + 16 X^2 + 32X + 16 = 36$

$52 X^2 + 32X - 20 = 0$

$13 X^2 + 8X - 5 = 0$

$(13X - 5)(X + 1) = 0$

$X = \frac{5}{13}, -1$

$X = \frac{5}{13} \implies Y = \frac{2}{3} (\frac{5}{13}) + \frac{2}{3} = \frac{10 + 26}{39} = \frac{36}{39} = \frac{12}{13}$

$\tan \alpha = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$

$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{2(\frac{12}{5})}{1 - (\frac{12}{5})^2} = \frac{24/5}{1 - 144/25} = \frac{24/5}{-119/25} = \frac{24 \cdot 5}{-119} = -\frac{120}{119} \approx -1$

$\tan \frac{3\pi}{4} = -1$

よって $\alpha$ に最も近いのは $\frac{3\pi}{4}$

(3)

$X = \cos \theta$, $Y = \sin \theta$ とすると、

$2 \cos X - 3Y + 2 = 0$ と $X^2 + Y^2 = 1$ の交点の座標を考える。

$2X - 3Y + 2 = 0$ より $Y = \frac{2X + 2}{3}$

$X^2 + (\frac{2X+2}{3})^2 = 1$

$9X^2 + 4X^2 + 8X + 4 = 9$

$13X^2 + 8X - 5 = 0$

$(X+1)(13X-5) = 0$

$X = -1, \frac{5}{13}$

$X = -1 \implies Y = 0$

$X = \frac{5}{13} \implies Y = \frac{12}{13}$

よって、$(\cos \alpha, \sin \alpha) = (\frac{5}{13}, \frac{12}{13}), (\cos \beta, \sin \beta) = (-1, 0)$

$\tan \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\cos \alpha + \cos \beta} = \frac{\frac{12}{13} + 0}{\frac{5}{13} + (-1)} = \frac{12}{5 - 13} = \frac{12}{-8} = - \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) ア: $1 + \cos \theta$, イ: $\sqrt{3}$, ウ: $2$, エ: $3$, オ: $2$

(2) カ: $2$, キ: $3$, ク: $2$, コサ: $\frac{12}{5}$, シス: 0 より大きい, チ: $\frac{3}{4} \pi$

(3) ツ: $-\frac{3}{2}$