問題は二つの無限級数の和を求めることです。 (1) $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k(k+1)}$ (2) $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{3^{k-1}}$

1. 問題の内容

問題は二つの無限級数の和を求めることです。

(1) $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k(k+1)}$

(2) $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{3^{k-1}}$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を利用します。$\frac{2}{k(k+1)}$ を部分分数分解すると、$\frac{2}{k} - \frac{2}{k+1}$となります。

この級数の第 $n$ 部分和 $S_n$ を計算します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{2}{k} - \frac{2}{k+1})$

$S_n = (\frac{2}{1} - \frac{2}{2}) + (\frac{2}{2} - \frac{2}{3}) + (\frac{2}{3} - \frac{2}{4}) + ... + (\frac{2}{n} - \frac{2}{n+1})$

$S_n = 2 - \frac{2}{n+1}$

$n \to \infty$ のとき、$S_n$ の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (2 - \frac{2}{n+1}) = 2 - 0 = 2$

(2) この級数は等比級数です。

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{3^{k-1}} = 8 \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{k-1}$ は、初項1、公比 $\frac{1}{3}$ の等比級数です。

等比級数の和は、$\frac{a}{1-r}$ で計算できます。（ただし、 $|r| < 1$ であること。）

この場合、$a=1$, $r=\frac{1}{3}$ なので、$\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$ です。

よって、$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{3^{k-1}} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 12