与えられた積分 $\int \frac{r}{\sqrt{1+r^2}} dr$ を計算します。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{r}{\sqrt{1+r^2}} dr$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分法を使用します。

$u = 1 + r^2$ と置くと、$du = 2r dr$ となります。

したがって、$r dr = \frac{1}{2} du$ です。

これらを元の積分に代入すると、

$\int \frac{r}{\sqrt{1+r^2}} dr = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du$

となります。

次に、積分を計算します。

$\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = u^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{u} + C$

ここで、$C$は積分定数です。

最後に、$u$ を元の変数 $r$ に戻します。

$\sqrt{u} + C = \sqrt{1+r^2} + C$

3. 最終的な答え

$\sqrt{1+r^2} + C$