与えられた3つの定積分を計算します。 (1) $\int_0^1 (3x-1)^2 dx$ (2) $\int_0^4 \frac{x}{9+x^2} dx$ (3) $\int_0^1 \frac{x-2}{x^2+x+1} dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算します。

(1) $\int_0^1 (3x-1)^2 dx$

(2) $\int_0^4 \frac{x}{9+x^2} dx$

(3) $\int_0^1 \frac{x-2}{x^2+x+1} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^1 (3x-1)^2 dx$

まず、$(3x-1)^2$を展開します。

$(3x-1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$

次に、積分を計算します。

$\int_0^1 (9x^2 - 6x + 1) dx = [3x^3 - 3x^2 + x]_0^1 = (3-3+1) - (0-0+0) = 1$

(2) $\int_0^4 \frac{x}{9+x^2} dx$

$u = 9+x^2$と置換します。すると、$du = 2x dx$となり、$x dx = \frac{1}{2} du$です。

$x=0$のとき、$u=9$、$x=4$のとき、$u=9+16=25$となります。

したがって、

$\int_0^4 \frac{x}{9+x^2} dx = \int_9^{25} \frac{1}{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_9^{25} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\ln u]_9^{25} = \frac{1}{2} (\ln 25 - \ln 9) = \frac{1}{2} \ln \frac{25}{9} = \ln \sqrt{\frac{25}{9}} = \ln \frac{5}{3}$

(3) $\int_0^1 \frac{x-2}{x^2+x+1} dx$

$x^2+x+1$を微分すると$2x+1$なので、積分を以下のように変形します。

$\int_0^1 \frac{x-2}{x^2+x+1} dx = \int_0^1 \frac{\frac{1}{2}(2x+1) - \frac{1}{2} - 2}{x^2+x+1} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx - \frac{5}{2} \int_0^1 \frac{1}{x^2+x+1} dx$

まず、$\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx = \frac{1}{2} [\ln (x^2+x+1)]_0^1 = \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln 3$

次に、$\int_0^1 \frac{1}{x^2+x+1} dx$を計算します。

$x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = (x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$

$\int_0^1 \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} [\arctan \frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}]_0^1 = \frac{2}{\sqrt{3}} [\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}]_0^1 = \frac{2}{\sqrt{3}} (\arctan \sqrt{3} - \arctan \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{2}{\sqrt{3}} (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

したがって、

$\int_0^1 \frac{x-2}{x^2+x+1} dx = \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{5}{2} \frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{5\pi}{6\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\ln \frac{5}{3}$

(3) $\frac{1}{2} \ln 3 - \frac{5\pi}{6\sqrt{3}}$