$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式・不等式を解く。 (1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = -1$ (2) $\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta < 0$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式・不等式を解く。

(1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = -1$

(2) $\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta < 0$

2. 解き方の手順

(1)

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = -1$ を解く。

左辺を合成する。

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2 \sin (\theta + \frac{\pi}{3})$

したがって、

$2 \sin (\theta + \frac{\pi}{3}) = -1$

$\sin (\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$0 \leq \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} \leq \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{3}$

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

$\theta = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3}, \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{3}$

$\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{9\pi}{6}$

$\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

(2)

$\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta < 0$ を解く。

左辺を合成する。

$\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta = 2 \sin (\theta - \frac{\pi}{6})$

したがって、

$2 \sin (\theta - \frac{\pi}{6}) < 0$

$\sin (\theta - \frac{\pi}{6}) < 0$

$0 \leq \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \leq \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$

$\pi < \theta - \frac{\pi}{6} < 2\pi$ または $-\frac{\pi}{6} \leq \theta - \frac{\pi}{6} < 0$

$\pi + \frac{\pi}{6} < \theta < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ または $0 \leq \theta < \frac{\pi}{6}$

$\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{13\pi}{6}$

$\frac{7\pi}{6} < \theta < 2\pi$ または $0 \leq \theta < \frac{\pi}{6}$

したがって、

$0 \leq \theta < \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

(2) $0 \leq \theta < \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} < \theta < 2\pi$