定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x-2}{x^2+x+1} dx$ を求めます。

## 問題3 の解答

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x-2}{x^2+x+1} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解することを試みます。しかし、$x^2+x+1$ は実数の範囲で因数分解できません。そこで、分母を平方完成させ、変数変換を利用することを考えます。

まず分母を平方完成します。

$x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

次に、被積分関数を以下のように変形します。

$\frac{x-2}{x^2+x+1} = \frac{x+\frac{1}{2} - \frac{5}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} = \frac{x+\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} - \frac{\frac{5}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}$

したがって、積分は以下のように分解できます。

$\int_{0}^{1} \frac{x-2}{x^2+x+1} dx = \int_{0}^{1} \frac{x+\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx - \int_{0}^{1} \frac{\frac{5}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

一つ目の積分を $I_1$、二つ目の積分を $I_2$ とすると、

$I_1 = \int_{0}^{1} \frac{x+\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$I_2 = \int_{0}^{1} \frac{\frac{5}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$I_1$ を計算します。$u = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ と置換すると、$du = 2(x+\frac{1}{2})dx$ となるので、

$I_1 = \frac{1}{2} \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{7}{4}} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\ln|u|]_{\frac{3}{4}}^{\frac{7}{4}} = \frac{1}{2} (\ln{\frac{7}{4}} - \ln{\frac{3}{4}}) = \frac{1}{2} \ln{\frac{7}{3}}$

$I_2$ を計算します。$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a} \arctan{\frac{x}{a}} + C$ の公式を利用するため、$t = x + \frac{1}{2}$ と置換すると、$dt = dx$ となり、

$I_2 = \frac{5}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{t^2 + \frac{3}{4}} dt = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} [\arctan{\frac{t}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{\sqrt{3}} (\arctan{\sqrt{3}} - \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}}) = \frac{5}{\sqrt{3}} (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6\sqrt{3}}$

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{x-2}{x^2+x+1} dx = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} \ln{\frac{7}{3}} - \frac{5\pi}{6\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln{\frac{7}{3}} - \frac{5\pi}{6\sqrt{3}}$