問題4.2は、$f(x)$を連続関数とするとき、与えられた$x$の関数を微分するという問題です。具体的には、以下の2つの関数を微分します。 (1) $\int_x^{x^2} f(t) dt$ (2) $\int_0^{x+1} x f(t) dt$

1. 問題の内容

問題4.2は、$f(x)$を連続関数とするとき、与えられた$x$の関数を微分するという問題です。具体的には、以下の2つの関数を微分します。

(1) $\int_x^{x^2} f(t) dt$

(2) $\int_0^{x+1} x f(t) dt$

2. 解き方の手順

(1) $\int_x^{x^2} f(t) dt$の微分

まず、積分区間の両端が$x$の関数になっているので、微分の公式

$\frac{d}{dx} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt = f(h(x)) \cdot h'(x) - f(g(x)) \cdot g'(x)$

を使います。この場合、$g(x) = x$, $h(x) = x^2$なので、$g'(x) = 1$, $h'(x) = 2x$です。

したがって、

$\frac{d}{dx} \int_x^{x^2} f(t) dt = f(x^2) \cdot 2x - f(x) \cdot 1 = 2x f(x^2) - f(x)$

となります。

(2) $\int_0^{x+1} x f(t) dt$の微分

この場合は、$x$が積分記号の外にあるので、まず積分記号の外に出します。

$\int_0^{x+1} x f(t) dt = x \int_0^{x+1} f(t) dt$

次に、積の微分公式$\frac{d}{dx} (u(x) v(x)) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)$を使います。

ここで、$u(x) = x$, $v(x) = \int_0^{x+1} f(t) dt$です。

$u'(x) = 1$, $v'(x) = f(x+1) \cdot 1 = f(x+1)$（微積分学の基本定理より）

したがって、

$\frac{d}{dx} \left( x \int_0^{x+1} f(t) dt \right) = 1 \cdot \int_0^{x+1} f(t) dt + x \cdot f(x+1)$

$=\int_0^{x+1} f(t) dt + xf(x+1)$

3. 最終的な答え

(1) $2x f(x^2) - f(x)$

(2) $\int_0^{x+1} f(t) dt + xf(x+1)$