次の2つの定積分を求める問題です。 (1) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ (2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$

1. 問題の内容

次の2つの定積分を求める問題です。

(1) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$

2. 解き方の手順

(1)

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ の積分を計算します。

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ は $\arcsin(x)$ の導関数であるため、積分は $\arcsin(x)$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \left[ \arcsin(x) \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) - \arcsin(0)$

$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ であり、$\arcsin(0) = 0$ であるため、

$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) - \arcsin(0) = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$

(2)

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$ の積分を計算します。

$x = \sinh(u)$ と置換すると、$dx = \cosh(u)du$ となります。また、$\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\sinh^2(u)} = \sqrt{\cosh^2(u)} = \cosh(u)$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。$x=0$ のとき、$\sinh(u)=0$ なので $u=0$ です。$x=1$ のとき、$\sinh(u)=1$ なので $u=\sinh^{-1}(1)$ です。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \frac{\cosh(u)du}{\cosh(u)} = \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} du = \left[u\right]_{0}^{\sinh^{-1}(1)} = \sinh^{-1}(1) - 0 = \sinh^{-1}(1)$

$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ であるため、$\sinh^{-1}(1) = \ln(1 + \sqrt{1^2+1}) = \ln(1 + \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6}$

(2) $\ln(1+\sqrt{2})$