次の不定積分を計算します。 $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 2}$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 2}$

2. 解き方の手順

与えられた積分を計算するために、まず分母を平方完成します。

$x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$

したがって、積分は

$\int \frac{dx}{(x+1)^2 + 1}$

ここで、$u = x+1$ と置換すると、$du = dx$ となるので、

$\int \frac{du}{u^2 + 1}$

これは基本的な積分であり、逆正接関数で表されます。

$\int \frac{du}{u^2 + 1} = \arctan(u) + C$

ここで、$u = x+1$ を代入すると、

$\arctan(x+1) + C$

ここで、$C$は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\arctan(x+1) + C$