極限 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{ax+b}{\cos x} = 3$ が成立するように、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{ax+b}{\cos x} = 3$ が成立するように、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x \to 0$ なので、極限が存在するためには、分子も $0$ に収束する必要がある。

したがって、

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a\frac{\pi}{2} + b = 0

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が成り立つ。これから、$b = -a\frac{\pi}{2}$ となる。

これを元の式に代入すると、

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\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{ax - a\frac{\pi}{2}}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{a(x - \frac{\pi}{2})}{\cos x} = 3

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となる。ここで、$x - \frac{\pi}{2} = t$ とおくと、$x = t + \frac{\pi}{2}$ となり、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t \to 0$ なので、

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\lim_{t \to 0} \frac{at}{\cos(t + \frac{\pi}{2})} = \lim_{t \to 0} \frac{at}{-\sin t} = 3

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となる。

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\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1

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であるから、

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\lim_{t \to 0} \frac{at}{-\sin t} = \lim_{t \to 0} -a \frac{t}{\sin t} = -a \cdot 1 = -a = 3

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となる。よって、$a = -3$ である。

$b = -a\frac{\pi}{2}$ であったから、$b = -(-3)\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ となる。

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = \frac{3\pi}{2}$