次の定積分を計算します。ただし、$ab \neq 0$とします。 $\qquad \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。ただし、$ab \neq 0$とします。

$\qquad \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を$\cos^2 x$で割ります。

$\qquad \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{a^2 \sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{b^2 \cos^2 x}{\cos^2 x}} dx$

$\qquad = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{a^2 \tan^2 x + b^2} dx$

$\qquad = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{a^2 \tan^2 x + b^2} dx$

ここで、$u = \tan x$と置換すると、$du = \sec^2 x dx$となり、積分範囲は$x=0$のとき$u = \tan 0 = 0$、$x=\frac{\pi}{4}$のとき$u = \tan \frac{\pi}{4} = 1$となります。

$\qquad \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{a^2 \tan^2 x + b^2} dx = \int_{0}^{1} \frac{du}{a^2 u^2 + b^2}$

さらに、$u = \frac{b}{a}v$と置換すると、$du = \frac{b}{a}dv$となり、積分範囲は$u=0$のとき$v=0$、$u=1$のとき$v=\frac{a}{b}$となります。

$\qquad \int_{0}^{1} \frac{du}{a^2 u^2 + b^2} = \int_{0}^{\frac{a}{b}} \frac{\frac{b}{a} dv}{a^2 (\frac{b}{a} v)^2 + b^2} = \int_{0}^{\frac{a}{b}} \frac{\frac{b}{a} dv}{a^2 \frac{b^2}{a^2} v^2 + b^2}$

$\qquad = \int_{0}^{\frac{a}{b}} \frac{\frac{b}{a} dv}{b^2 v^2 + b^2} = \frac{b}{a} \int_{0}^{\frac{a}{b}} \frac{dv}{b^2 (v^2 + 1)} = \frac{b}{a b^2} \int_{0}^{\frac{a}{b}} \frac{dv}{v^2 + 1}$

$\qquad = \frac{1}{ab} [\arctan v]_{0}^{\frac{a}{b}} = \frac{1}{ab} (\arctan \frac{a}{b} - \arctan 0) = \frac{1}{ab} (\arctan \frac{a}{b} - 0)$

$\qquad = \frac{1}{ab} \arctan \frac{a}{b}$

3. 最終的な答え

$\qquad \frac{1}{ab} \arctan \frac{a}{b}$