与えられた関数 $y = (x - 2)(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x - 2)(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。

ここで、

$u = x - 2$

$v = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5$

とします。

まず、$u$ と $v$ の微分を計算します。

$u' = (x - 2)' = 1$

$v' = (x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5)' = 4x^3 + 6x^2 + 6x + 4$

次に、積の微分公式に当てはめます。

$y' = u'v + uv' = 1(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5) + (x - 2)(4x^3 + 6x^2 + 6x + 4)$

これを展開して整理します。

$y' = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5 + 4x^4 + 6x^2 + 6x + 4 - 8x^3 - 12x^2 - 12x - 8$

$y' = (x^4 + 4x^4) + (2x^3 - 8x^3) + (3x^2 + 6x^2 - 12x^2) + (4x + 6x - 12x) + (5 + 4 - 8)$

$y' = 5x^4 - 6x^3 - 3x^2 - 2x + 1$

3. 最終的な答え

$y' = 5x^4 - 6x^3 - 3x^2 - 2x + 1$