関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ をマクローリン展開せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ をマクローリン展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開が

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$

であることを利用します。これは $|x| < 1$ の場合に収束する等比級数です。

関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ は $\frac{1}{1-x}$ の $x$ を $-x^2$ で置き換えることで得られます。

したがって、

$f(x) = \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

となります。

これを展開すると、

$f(x) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - \dots$

となります。

この級数は $|-x^2| < 1$ つまり $|x| < 1$ の場合に収束します。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - \dots$ (|x| < 1)