導関数の定義に従って、関数 $f(x) = (2x-1)^3$ を微分せよ。

1. 問題の内容

導関数の定義に従って、関数 $f(x) = (2x-1)^3$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

である。

まず、$f(x+h)$を計算する。

$f(x+h) = (2(x+h)-1)^3 = (2x+2h-1)^3$

次に、$f(x+h) - f(x)$を計算する。

$f(x+h) - f(x) = (2x+2h-1)^3 - (2x-1)^3$

ここで、$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$を使うと、

$(2x+2h-1)^3 - (2x-1)^3 = ((2x+2h-1)-(2x-1))((2x+2h-1)^2 + (2x+2h-1)(2x-1) + (2x-1)^2)$

$= (2h)((2x+2h-1)^2 + (2x+2h-1)(2x-1) + (2x-1)^2)$

よって、

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(2h)((2x+2h-1)^2 + (2x+2h-1)(2x-1) + (2x-1)^2)}{h}$

$= 2((2x+2h-1)^2 + (2x+2h-1)(2x-1) + (2x-1)^2)$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} 2((2x+2h-1)^2 + (2x+2h-1)(2x-1) + (2x-1)^2)$

$= 2((2x-1)^2 + (2x-1)(2x-1) + (2x-1)^2)$

$= 2(3(2x-1)^2) = 6(2x-1)^2$

$= 6(4x^2 - 4x + 1) = 24x^2 - 24x + 6$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 6(2x-1)^2 = 24x^2 - 24x + 6$