与えられた4つの関数について、導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。 (1) $y = (x+1)\log_e (x+1)$ (2) $y = \sin^{-1} \sqrt{1-x} \quad (0 < x < 1)$ (3) $y = (\log_e x)^2$ (4) $\begin{cases} x = t^2 e^{2t} \\ y = (t^2 + t + 1)e^t \end{cases}$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

(1) $y = (x+1)\log_e (x+1)$

(2) $y = \sin^{-1} \sqrt{1-x} \quad (0 < x < 1)$

(3) $y = (\log_e x)^2$

(4) $\begin{cases} x = t^2 e^{2t} \\ y = (t^2 + t + 1)e^t \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x+1)\log_e (x+1)$

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x+1$, $v = \log_e (x+1)$ とすると、

$u' = 1$, $v' = \frac{1}{x+1}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log_e (x+1) + (x+1) \cdot \frac{1}{x+1} = \log_e (x+1) + 1$

(2) $y = \sin^{-1} \sqrt{1-x} \quad (0 < x < 1)$

合成関数の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1)$

$= \frac{1}{\sqrt{1-(1-x)}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1)$

$= \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1)$

$= -\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$

(3) $y = (\log_e x)^2$

合成関数の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = 2 (\log_e x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\log_e x}{x}$

(4) $\begin{cases} x = t^2 e^{2t} \\ y = (t^2 + t + 1)e^t \end{cases}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用います。

$\frac{dx}{dt} = 2t e^{2t} + t^2 (2e^{2t}) = 2te^{2t} + 2t^2 e^{2t} = 2te^{2t} (1+t)$

$\frac{dy}{dt} = (2t + 1)e^t + (t^2 + t + 1)e^t = (2t + 1 + t^2 + t + 1)e^t = (t^2 + 3t + 2)e^t = (t+1)(t+2)e^t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(t+1)(t+2)e^t}{2te^{2t} (1+t)} = \frac{(t+2)}{2te^t}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \log_e (x+1) + 1$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{2\log_e x}{x}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{t+2}{2te^t}$