## 問題 (12) の内容

## 問題 (12) の内容

問題 (12) は、次の不定積分を求める問題です。

$\int \frac{\sin x}{2 + \tan^2 x} dx$

## 解き方の手順

1. $\tan x = t$ と置換します。すると $\frac{dx}{dt} = \cos^2 x$ となります。つまり、 $dx = \cos^2 x dt$ です。

2. 与えられた積分は、

$\int \frac{\sin x}{2 + \tan^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{2 + t^2} \cos^2 x dt$

となります。

3. $\cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}$ であり、$\sin x = \frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}$ であることから、

$\int \frac{\sin x}{2 + t^2} \cos^2 x dt = \int \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} \cdot \frac{1}{2 + t^2} \cdot \frac{1}{1 + t^2} dt = \int \frac{t}{(1 + t^2)^{3/2}(2 + t^2)}dt$

この置換ではうまくいきません。

別の方法を試します。

1. $\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ なので、与えられた積分は、

$\int \frac{\sin x}{2 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} dx = \int \frac{\sin x \cos^2 x}{2 \cos^2 x + \sin^2 x} dx$

となります。

2. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ なので、

$\int \frac{\sin x (1 - \sin^2 x)}{2 (1 - \sin^2 x) + \sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x (1 - \sin^2 x)}{2 - 2\sin^2 x + \sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x (1 - \sin^2 x)}{2 - \sin^2 x} dx$

3. ここで、 $u = \cos x$ と置換すると、 $du = - \sin x dx$ となるので、$\sin^2 x = 1 - u^2$ より

$\int \frac{\sin x (1 - \sin^2 x)}{2 - \sin^2 x} dx = - \int \frac{1 - (1 - u^2)}{2 - (1 - u^2)} du = - \int \frac{u^2}{1 + u^2} du$

4. $- \int \frac{u^2}{1 + u^2} du = - \int \frac{1 + u^2 - 1}{1 + u^2} du = - \int (1 - \frac{1}{1 + u^2}) du = - (u - \arctan u) + C = -u + \arctan u + C$

5. $u = \cos x$ なので、

$-u + \arctan u + C = - \cos x + \arctan (\cos x) + C$

## 最終的な答え

$- \cos x + \arctan (\cos x) + C$