$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ において、$y = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ とするとき、$z = \frac{1}{y^2} - 3$ の最大値を求める問題です。問題文中の空欄ア～クを埋める必要があります。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ において、$y = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ とするとき、$z = \frac{1}{y^2} - 3$ の最大値を求める問題です。問題文中の空欄ア～クを埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ を $y = r \cos(\theta - \alpha)$ の形に変形します。加法定理 $\cos(\theta - \alpha) = \cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha$ を利用します。

$y = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = r \cos(\theta - \alpha) = r (\cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha) = (r \cos \alpha) \cos \theta + (r \sin \alpha) \sin \theta$

係数を比較して、

$r \cos \alpha = 1$

$r \sin \alpha = \sqrt{3}$

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$r^2 = 4$

$r > 0$ より $r = 2$ (ア)

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

となるので、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ (イ)

すると、$y = 2 \cos(\theta - \frac{\pi}{3})$ となります。

$z = \frac{1}{y^2} - 3 = \frac{1}{4 \cos^2 (\theta - \frac{\pi}{3})} - 3$

ここで $\cos^2 (\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sec^2 (\theta - \frac{\pi}{3})} = \frac{1}{1 + \tan^2 (\theta - \frac{\pi}{3})}$ なので、

$z = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{1 + \tan^2 (\theta - \frac{\pi}{3})}} - 3 = \frac{1 + \tan^2 (\theta - \frac{\pi}{3})}{4} - 3 = \frac{1}{4} \tan^2 (\theta - \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{4} - 3 = \frac{1}{4} \tan^2 (\theta - \frac{\pi}{3}) - \frac{11}{4}$

よって、ウ = $\frac{1}{4}$, エ = $\frac{11}{4}$

$t = \tan (\theta - \frac{\pi}{3})$ とおくと、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、

$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$

したがって、$\tan (-\frac{\pi}{3}) \le t \le \tan (\frac{\pi}{6})$

$-\sqrt{3} \le t \le \frac{1}{\sqrt{3}}$

オ = $-\sqrt{3}$, カ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

$z = \frac{1}{4} t^2 - \frac{11}{4}$ であり、これは $t$ に関する上に凸の放物線です。

$t = 0$ で最小値をとるので、$t = -\sqrt{3}$ で最大値をとります。

このとき $\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$ より $\theta = 0$ (キ)

$z = \frac{1}{4} (-\sqrt{3})^2 - \frac{11}{4} = \frac{3}{4} - \frac{11}{4} = -\frac{8}{4} = -2$ (ク)

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: $\frac{\pi}{3}$

ウ: $\frac{1}{4}$

エ: $\frac{11}{4}$

オ: $-\sqrt{3}$

カ: $\frac{1}{\sqrt{3}}$

キ: 0

ク: -2