## 解答

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1. 問題の内容

与えられた5つの定積分を計算する問題です。

具体的には、以下の定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^3}$

(2) $\int_{0}^{2a} \frac{x \, dx}{\sqrt{2ax - x^2}}$ ($a \neq 0$)

(4) $\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \cos bx \, dx$ ($a > 0$)

(5) $\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \, dx$ ($n$は自然数)

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2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^3}$

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ を利用して部分分数分解を行います。

$\frac{1}{1+x^3} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$ とおくと、

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1) = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$.

これより、$A+B = 0, -A+B+C = 0, A+C = 1$.

これらの連立方程式を解くと、$A = \frac{1}{3}, B = -\frac{1}{3}, C = \frac{2}{3}$ となります。

したがって、

$\frac{1}{1+x^3} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1}\right)$.

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^3} = \frac{1}{3} \int_{0}^{\infty} \left(\frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1}\right) \, dx$

$= \frac{1}{3} \int_{0}^{\infty} \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{2}\frac{2x-1}{x^2-x+1} + \frac{3/2}{x^2-x+1}\right) \, dx$

$= \frac{1}{3} \left[\ln(x+1) - \frac{1}{2} \ln(x^2-x+1) + \frac{3}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \right]_{0}^{\infty}$

$= \frac{1}{3} \left[\ln\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}\right) + \sqrt{3} \arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)\right]_{0}^{\infty}$

$= \frac{1}{3} \left[(0+\sqrt{3}\frac{\pi}{2}) - (0+\sqrt{3}(-\frac{\pi}{6})) \right]$

$= \frac{1}{3}\sqrt{3} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{9} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$.

(2) $\int_{0}^{2a} \frac{x \, dx}{\sqrt{2ax - x^2}}$

$x = a(1 - \cos \theta)$ と置換すると、$dx = a \sin \theta \, d\theta$.

$2ax - x^2 = 2a^2(1 - \cos \theta) - a^2(1 - \cos \theta)^2 = a^2 (2 - 2\cos \theta - 1 + 2\cos \theta - \cos^2 \theta) = a^2(1-\cos^2 \theta) = a^2\sin^2 \theta$.

$x=0 \implies \cos\theta=1 \implies \theta = 0$

$x=2a \implies \cos\theta = -1 \implies \theta = \pi$

$\int_{0}^{2a} \frac{x \, dx}{\sqrt{2ax - x^2}} = \int_{0}^{\pi} \frac{a(1-\cos \theta) a\sin\theta}{a \sin\theta} \, d\theta = a \int_{0}^{\pi} (1-\cos \theta) \, d\theta = a [\theta - \sin\theta]_{0}^{\pi} = a[\pi - 0 - (0 - 0)] = a\pi$.

(4) $\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \cos bx \, dx$

部分積分を2回行う。

$I = \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \cos bx \, dx = \left[ -\frac{1}{a}e^{-ax} \cos bx \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -\frac{1}{a} e^{-ax} (-b \sin bx) \, dx$

$= \frac{1}{a} - \frac{b}{a} \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \sin bx \, dx = \frac{1}{a} - \frac{b}{a} \left[ -\frac{1}{a}e^{-ax} \sin bx \right]_{0}^{\infty} - \frac{b}{a} \int_{0}^{\infty} -\frac{1}{a} e^{-ax} b\cos bx \, dx$

$= \frac{1}{a} - \frac{b^2}{a^2} \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \cos bx \, dx = \frac{1}{a} - \frac{b^2}{a^2} I$

$I = \frac{1}{a} - \frac{b^2}{a^2} I \implies I \left(1+\frac{b^2}{a^2}\right) = \frac{1}{a} \implies I = \frac{1}{a} \frac{a^2}{a^2+b^2} = \frac{a}{a^2+b^2}$.

(5) $\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \, dx$

ガンマ関数の定義より、$\Gamma(n+1) = \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \, dx = n!$.

自然数 $n$ に対して $\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \, dx = n!$.

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3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^3} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$

(2) $\int_{0}^{2a} \frac{x \, dx}{\sqrt{2ax - x^2}} = a\pi$

(4) $\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \cos bx \, dx = \frac{a}{a^2+b^2}$

(5) $\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \, dx = n!$