次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{1} \frac{2x}{\sqrt{4-x^4}} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{2x}{\sqrt{4-x^4}} dx$

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = u$ と置換します。

すると、$\frac{du}{dx} = 2x$ なので、$dx = \frac{du}{2x}$となります。

積分範囲も変更する必要があります。$x=0$ のとき $u = 0^2 = 0$、$x=1$ のとき $u = 1^2 = 1$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{2x}{\sqrt{4-x^4}} dx = \int_{0}^{1} \frac{2x}{\sqrt{4-u^2}} \frac{du}{2x} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4-u^2}} du$

次に、$u = 2\sin\theta$ と置換します。

すると、$\frac{du}{d\theta} = 2\cos\theta$ なので、$du = 2\cos\theta d\theta$となります。

積分範囲も変更する必要があります。$u=0$ のとき $2\sin\theta = 0$ より $\theta = 0$、$u=1$ のとき $2\sin\theta = 1$ より $\sin\theta = \frac{1}{2}$ なので $\theta = \frac{\pi}{6}$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4-u^2}} du = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} 2\cos\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{2\cos\theta}{\sqrt{4(1-\sin^2\theta)}} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{2\cos\theta}{2\sqrt{\cos^2\theta}} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{2\cos\theta}{2\cos\theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1 d\theta$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1 d\theta = [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$