$f(x) = \cos 2x$ をマクローリン展開し、0でない最初の3項を求めよ。

## 問題の解答

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3. (1)

1. 問題の内容

$f(x) = \cos 2x$ をマクローリン展開し、0でない最初の3項を求めよ。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は $f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$ である。

まず、導関数を求める。

$f(x) = \cos 2x$

$f'(x) = -2\sin 2x$

$f''(x) = -4\cos 2x$

$f'''(x) = 8\sin 2x$

$f''''(x) = 16\cos 2x$

これらの $x = 0$ での値を計算する。

$f(0) = \cos 0 = 1$

$f'(0) = -2\sin 0 = 0$

$f''(0) = -4\cos 0 = -4$

$f'''(0) = 8\sin 0 = 0$

$f''''(0) = 16\cos 0 = 16$

よって、マクローリン展開は、

$f(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{-4}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{16}{4!}x^4 + \dots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + \dots$

0でない最初の3項は $1, -2x^2, \frac{2}{3}x^4$。

3. 最終的な答え

$1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4$

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3. (2)

1. 問題の内容

$f(x) = \sqrt{1+2x}$ をマクローリン展開し、$x^2$ の項まで求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = \sqrt{1+2x} = (1+2x)^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = (1+2x)^{-\frac{1}{2}}$

$f''(x) = -\frac{1}{2}(1+2x)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2 = -(1+2x)^{-\frac{3}{2}}$

$f(0) = \sqrt{1+0} = 1$

$f'(0) = (1+0)^{-\frac{1}{2}} = 1$

$f''(0) = -(1+0)^{-\frac{3}{2}} = -1$

よって、マクローリン展開は、

$f(x) = 1 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + \dots = 1 + x - \frac{1}{2}x^2 + \dots$

$x^2$ の項まで求めると、$1 + x - \frac{1}{2}x^2$

3. 最終的な答え

$1 + x - \frac{1}{2}x^2$

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3. (3)

1. 問題の内容

前の問題で得られた式を利用して、$\sqrt{1.02}$ の近似値を小数で表せ。

2. 解き方の手順

前の問題で得られた式は $\sqrt{1+2x} \approx 1 + x - \frac{1}{2}x^2$ である。

$\sqrt{1.02} = \sqrt{1 + 0.02}$ であるから、$2x = 0.02$ となる。

したがって、$x = 0.01$ である。

これを近似式に代入する。

$\sqrt{1.02} \approx 1 + 0.01 - \frac{1}{2}(0.01)^2 = 1 + 0.01 - \frac{1}{2}(0.0001) = 1.01 - 0.00005 = 1.00995$

3. 最終的な答え

1.00995

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4. (1)

1. 問題の内容

$y = x^3$ と $y = 2x^2$ の曲線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求める。

$x^3 = 2x^2$

$x^3 - 2x^2 = 0$

$x^2(x - 2) = 0$

したがって、$x = 0, 2$ で交わる。

$x=0$のとき、$y=0$、 $x=2$のとき、$y=8$。交点は $(0,0)$ と $(2,8)$。

$0 \le x \le 2$ の範囲で $2x^2 \ge x^3$ である。

面積 $S$ は、$S = \int_0^2 (2x^2 - x^3)dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^2 = \frac{2}{3}(2^3) - \frac{1}{4}(2^4) = \frac{16}{3} - \frac{16}{4} = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16 - 12}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$

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4. (2)

1. 問題の内容

パラメータ表示の曲線 $x = \frac{t^2}{2}, y = \frac{t^3}{3} (0 \le t \le 1)$ の長さ $l$ を求めよ。

2. 解き方の手順

曲線の長さは $l = \int_0^1 \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$ で与えられる。

$\frac{dx}{dt} = t$

$\frac{dy}{dt} = t^2$

$l = \int_0^1 \sqrt{t^2 + t^4} dt = \int_0^1 \sqrt{t^2(1 + t^2)} dt = \int_0^1 t\sqrt{1 + t^2} dt$

$u = 1 + t^2$ とすると、$\frac{du}{dt} = 2t$ より $t dt = \frac{1}{2}du$

$t = 0$ のとき $u = 1$、 $t = 1$ のとき $u = 2$

$l = \int_1^2 \sqrt{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_1^2 u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_1^2 = \frac{1}{3} \left[ u^{\frac{3}{2}} \right]_1^2 = \frac{1}{3} (2^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{1}{3} (2\sqrt{2} - 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{2} - 1}{3}$