問題は、極限、微分、積分の計算問題です。具体的には、以下の内容が出題されています。 (1) 関数の極限を求める。 (a) $\lim_{x\to\infty} \frac{x^2-x+1}{3x^2+4}$ (b) $\lim_{x\to\infty} 2x\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$ (2) 関数を微分する。 (a) $y = x^2(1-x^2)$ のとき $y'$ (b) $y = \sin 3x \cos 5x$ のとき $y'$ (c) $x = \log_4 y$ のとき $y'$ (3) 積分計算 (a) $\int x(1-x^2)^{100}dx$ (ただし、$t=x^2-1$とおく) (b) $\int 2x \log(2x) dx$ (c) $\int_1^2 \frac{2}{x}(\log(2x))^2 dx$ (d) $f(x) = \int_1^x |t(t-2)| dt$ とするとき、$f(3)$と $\lim_{x\to 1} \frac{1}{x^2-1} f(x)$

1. 問題の内容

問題は、極限、微分、積分の計算問題です。具体的には、以下の内容が出題されています。

(1) 関数の極限を求める。

(a) $\lim_{x\to\infty} \frac{x^2-x+1}{3x^2+4}$

(b) $\lim_{x\to\infty} 2x\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$

(2) 関数を微分する。

(a) $y = x^2(1-x^2)$ のとき $y'$

(b) $y = \sin 3x \cos 5x$ のとき $y'$

(c) $x = \log_4 y$ のとき $y'$

(3) 積分計算

(a) $\int x(1-x^2)^{100}dx$ (ただし、$t=x^2-1$とおく)

(b) $\int 2x \log(2x) dx$

(c) $\int_1^2 \frac{2}{x}(\log(2x))^2 dx$

(d) $f(x) = \int_1^x |t(t-2)| dt$ とするとき、$f(3)$と $\lim_{x\to 1} \frac{1}{x^2-1} f(x)$

2. 解き方の手順

(1) 極限

(a) 分子と分母を$x^2$で割ると、

$\lim_{x\to\infty} \frac{x^2-x+1}{3x^2+4} = \lim_{x\to\infty} \frac{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{3+\frac{4}{x^2}} = \frac{1-0+0}{3+0} = \frac{1}{3}$

(b) $\lim_{x\to\infty} 2x\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \cos\frac{1}{x}$.

$\lim_{x\to\infty} \frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = 1$ であり, $\lim_{x\to\infty} \cos\frac{1}{x} = \cos 0 = 1$ であるから、

$\lim_{x\to\infty} 2x\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x} = 1 \cdot 1 = 1$

(2) 微分

(a) $y = x^2(1-x^2) = x^2 - x^4$

$y' = 2x - 4x^3 = -2x(2x^2 - 1)$

(b) $y = \sin 3x \cos 5x$

$y' = 3\cos 3x \cos 5x - 5 \sin 3x \sin 5x$

三角関数の積和公式を使うと、

$\cos 8x = \cos(5x+3x) = \cos 5x \cos 3x - \sin 5x \sin 3x$

$\cos 2x = \cos(5x-3x) = \cos 5x \cos 3x + \sin 5x \sin 3x$

$y' = 3\cos 3x \cos 5x - 5 \sin 3x \sin 5x = a\cos 8x + b\cos 2x$ とおくと、

$y' = \frac{3+5}{2} \cos 2x + \frac{3-5}{2} \cos 8x = 4\cos 2x - \cos 8x$

合成関数の微分

$y' = - \cos 8x + 4 \cos 2x$

(c) $x = \log_4 y$ より $y = 4^x$

$y' = 4^x \log 4 = 4^x \cdot 2\log 2$

(3) 積分

(a) $t = x^2 - 1$とおくと、$dt = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} dt$

$\int x(1-x^2)^{100} dx = -\int x (x^2-1)^{100}dx = -\frac{1}{2}\int t^{100} dt = -\frac{1}{2}\cdot \frac{t^{101}}{101} + C = -\frac{1}{202}(x^2-1)^{101} + C$

(b) $\int 2x(\log(2x))^2 dx$

部分積分法を使う。

$u = (\log(2x))^2$, $dv = 2x dx$

$du = 2\log(2x) \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 dx = \frac{2\log(2x)}{x} dx$, $v = x^2$

$\int 2x(\log(2x))^2 dx = x^2(\log(2x))^2 - \int x^2 \cdot \frac{2\log(2x)}{x} dx = x^2(\log(2x))^2 - \int 2x \log(2x) dx$

$\int 2x \log(2x) dx$ を部分積分

$u = \log(2x)$, $dv = 2x dx$, $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x^2$

$\int 2x \log(2x) dx = x^2 \log(2x) - \int x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = x^2 \log(2x) - \int x dx = x^2 \log(2x) - \frac{x^2}{2}$

$\int 2x(\log(2x))^2 dx = x^2(\log(2x))^2 - x^2 \log(2x) + \frac{x^2}{2} + C$

$x = \frac{1}{2}(2x)$ より $\int 2x(\log(2x))^2 dx = (\frac{2x}{2})^2(\log(2x))^2 - (\frac{2x}{2})^2 \log(2x) + \frac{(\frac{2x}{2})^2}{2} + C = \frac{1}{4}(2x)^2(\log(2x))^2 - \frac{1}{4}(2x)^2 \log(2x) + \frac{1}{8}(2x)^2 + C$

(c) $u = \log(2x)$とすると、$du = \frac{2}{2x} dx = \frac{1}{x} dx$

$\int_1^2 \frac{2}{x} (\log(2x))^2 dx = 2 \int_{\log 2}^{\log 4} u^2 du = 2 [\frac{u^3}{3}]_{\log 2}^{\log 4} = \frac{2}{3} [(\log 4)^3 - (\log 2)^3] = \frac{2}{3} [(2\log 2)^3 - (\log 2)^3] = \frac{2}{3}[8(\log 2)^3 - (\log 2)^3] = \frac{2}{3} \cdot 7(\log 2)^3 = \frac{14}{3}(\log 2)^3$

(d) $f(x) = \int_1^x |t(t-2)| dt$

$f(3) = \int_1^3 |t(t-2)| dt = \int_1^2 -t(t-2) dt + \int_2^3 t(t-2) dt = \int_1^2 (-t^2+2t)dt + \int_2^3 (t^2-2t)dt = [-\frac{t^3}{3}+t^2]_1^2 + [\frac{t^3}{3}-t^2]_2^3 = (-\frac{8}{3}+4) - (-\frac{1}{3}+1) + (\frac{27}{3}-9) - (\frac{8}{3}-4) = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{2}{3} = 2 + \frac{12}{3} = 3 + \frac{2}{3}$

$f(3) = \int_1^2 (2t-t^2) dt + \int_2^3 (t^2-2t) dt = [t^2 - \frac{t^3}{3}]_1^2 + [\frac{t^3}{3} - t^2]_2^3 = (4-\frac{8}{3}) - (1-\frac{1}{3}) + (9-9) - (\frac{8}{3}-4) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} - (\frac{8}{3} - \frac{12}{3}) = \frac{2}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{6}{3} = 2$

$\lim_{x\to 1} \frac{1}{x^2-1} f(x) = \lim_{x\to 1} \frac{f(x)}{x^2-1} = \lim_{x\to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x^2-1} = \lim_{x\to 1} \frac{f(x) - 0}{x^2-1} = \lim_{x\to 1} \frac{f(x)}{x^2-1}$

$f'(x) = |x(x-2)|$

$\lim_{x\to 1} \frac{f(x)}{x^2-1} = \lim_{x\to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} \frac{1}{x+1} = f'(1) \frac{1}{2} = |1(1-2)|\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{3}$

イ: 1

ウ: 2

エ: 1

オ: -1

カ: 2

キ: x

ク: b

ア: -1/202

オカキ: $(x^2-1)^{101}$

イウエ:

ク: 1/2

ケ: 8

サシ: 14

ス: 3

セ: $(\log 2)^3$

ソ: 2

タ: 1

チ: 2