関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} (2x-t)\cos{t} dt$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} (2x-t)\cos{t} dt$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$F(x)$ を展開して積分を計算します。

$F(x) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} (2x\cos{t}-t\cos{t}) dt = 2x\int_{\frac{\pi}{6}}^{x} \cos{t} dt - \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} t\cos{t} dt$

ここで、部分積分を用いて$\int t\cos{t} dt$を計算します。

$u = t$, $dv = \cos{t} dt$とすると、$du = dt$, $v = \sin{t}$なので、

$\int t\cos{t} dt = t\sin{t} - \int \sin{t} dt = t\sin{t} + \cos{t} + C$

したがって、

$F(x) = 2x [\sin{t}]_{\frac{\pi}{6}}^{x} - [t\sin{t} + \cos{t}]_{\frac{\pi}{6}}^{x}$

$F(x) = 2x(\sin{x} - \sin{\frac{\pi}{6}}) - (x\sin{x} + \cos{x} - (\frac{\pi}{6}\sin{\frac{\pi}{6}} + \cos{\frac{\pi}{6}}))$

$F(x) = 2x(\sin{x} - \frac{1}{2}) - (x\sin{x} + \cos{x} - (\frac{\pi}{6}\cdot\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}))$

$F(x) = 2x\sin{x} - x - x\sin{x} - \cos{x} + \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$F(x) = x\sin{x} - x - \cos{x} + \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

次に、$F(x)$を微分します。

$F'(x) = \frac{d}{dx} (x\sin{x} - x - \cos{x} + \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

$F'(x) = \sin{x} + x\cos{x} - 1 + \sin{x}$

$F'(x) = x\cos{x} + 2\sin{x} - 1$

3. 最終的な答え

$F'(x) = x\cos{x} + 2\sin{x} - 1$