次の関数の不定積分を求めます。 $\int \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}} dx$

はい、承知いたしました。問題のリストから、問題(16)を解きます。

1. 問題の内容

次の関数の不定積分を求めます。

$\int \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}} dx$

2. 解き方の手順

まず、$x = \tan \theta$ と置換します。すると、$dx = \sec^2 \theta \, d\theta$ となります。

また、$\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = \sec \theta$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}} dx = \int \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta \sec \theta} d\theta = \int \frac{\sec \theta}{\tan \theta} d\theta$

$\int \frac{\sec \theta}{\tan \theta} d\theta = \int \frac{1/\cos \theta}{\sin \theta / \cos \theta} d\theta = \int \frac{1}{\sin \theta} d\theta = \int \csc \theta \, d\theta$

$\int \csc \theta \, d\theta = -\ln |\csc \theta + \cot \theta| + C$

ここで、$\csc \theta = \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$ と $\cot \theta = \frac{1}{x}$ を用いて、積分を $x$ の関数に戻します。

$-\ln |\csc \theta + \cot \theta| + C = -\ln |\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} + \frac{1}{x}| + C = -\ln |\frac{\sqrt{1+x^2}+1}{x}| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}} dx = -\ln |\frac{\sqrt{1+x^2}+1}{x}| + C$