## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた複数の関数について、不定積分を求める問題です。具体的には、以下の関数について不定積分を求めます。

(9) $\frac{1}{x^2 - 1}$

(10) $\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}$

(11) $\frac{x+3}{x^2+x+4}$

(12) $\frac{\sin x}{2 + \tan^2 x}$

(13) $\frac{\cos^3 x}{\sin^2 x}$

(14) $\sin (\log x)$

(15) $\tan^{-1} \sqrt{x}$

(16) $\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}$

## 解き方の手順と答え

それぞれの問題について、解き方の手順と最終的な答えを以下に示します。

**(9) $\frac{1}{x^2 - 1}$**

*手順*

1. 部分分数分解を行います。$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

2. AとBを求めます。$1 = A(x+1) + B(x-1)$. $x=1$とすると$1 = 2A$, よって$A = \frac{1}{2}$. $x=-1$とすると$1 = -2B$, よって$B = -\frac{1}{2}$.

3. 不定積分を求めます。 $\int \frac{1}{x^2-1} dx = \int (\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}) dx = \frac{1}{2} \ln |x-1| - \frac{1}{2} \ln |x+1| + C$.

*答え*

$\frac{1}{2} \ln |\frac{x-1}{x+1}| + C$

**(10) $\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}$**

*手順*

1. 部分分数分解を行います。$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} = \frac{A}{x^2+1} + \frac{B}{x^2+4}$

2. AとBを求めます。 $1 = A(x^2+4) + B(x^2+1)$. $x^2 = -1$とすると$1 = 3A$, よって$A = \frac{1}{3}$. $x^2 = -4$とすると$1 = -3B$, よって$B = -\frac{1}{3}$.

3. 不定積分を求めます。$\int \frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} dx = \int (\frac{1/3}{x^2+1} - \frac{1/3}{x^2+4}) dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2+1} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2+4} dx = \frac{1}{3} \arctan x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C$.

*答え*

$\frac{1}{3} \arctan x - \frac{1}{6} \arctan \frac{x}{2} + C$

**(11) $\frac{x+3}{x^2+x+4}$**

*手順*

1. 分母を微分すると$2x+1$となるので、分子を$2x+1$の形に変形します。$x+3 = \frac{1}{2}(2x+1) + \frac{5}{2}$

2. 不定積分を求めます。$\int \frac{x+3}{x^2+x+4} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+1) + \frac{5}{2}}{x^2+x+4} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x^2+x+4} dx + \frac{5}{2} \int \frac{1}{x^2+x+4} dx = \frac{1}{2} \ln |x^2+x+4| + \frac{5}{2} \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}} dx = \frac{1}{2} \ln |x^2+x+4| + \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{15}} \arctan \frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}} + C$.

*答え*

$\frac{1}{2} \ln (x^2+x+4) + \frac{5}{\sqrt{15}} \arctan \frac{2x+1}{\sqrt{15}} + C$

**(12) $\frac{\sin x}{2 + \tan^2 x}$**

*手順*

1. $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$であるから、$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$. よって $2 + \tan^2 x = 2 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{2\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + 1}{\cos^2 x}$.

2. よって、$\frac{\sin x}{2 + \tan^2 x} = \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos^2 x}$

3. $u = \cos x$とおくと，$du = -\sin x dx$.

4. 不定積分を求めます。 $\int \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos^2 x} dx = \int \frac{-u^2}{1+u^2} du = - \int \frac{u^2+1 - 1}{1+u^2} du = - \int (1 - \frac{1}{1+u^2}) du = - (u - \arctan u) + C = \arctan(\cos x) - \cos x + C$

*答え*

$\arctan(\cos x) - \cos x + C$

**(13) $\frac{\cos^3 x}{\sin^2 x}$**

*手順*

1. $\cos^3 x = \cos x \cos^2 x = \cos x (1-\sin^2 x)$であるから、$\frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} = \frac{\cos x (1-\sin^2 x)}{\sin^2 x}$

2. $u = \sin x$とおくと、$du = \cos x dx$.

3. 不定積分を求めます。$\int \frac{\cos x (1-\sin^2 x)}{\sin^2 x} dx = \int \frac{1-u^2}{u^2} du = \int (\frac{1}{u^2} - 1) du = -\frac{1}{u} - u + C = -\frac{1}{\sin x} - \sin x + C$.

*答え*

$-\frac{1}{\sin x} - \sin x + C = -\csc x - \sin x + C$

**(14) $\sin (\log x)$**

*手順*

1. 部分積分を用いる。$\int \sin(\log x) dx = x \sin(\log x) - \int x \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx = x \sin(\log x) - \int \cos(\log x) dx$

2. もう一度部分積分を行う。$\int \cos(\log x) dx = x \cos(\log x) - \int x (-\sin(\log x)) \cdot \frac{1}{x} dx = x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx$

3. よって、$\int \sin(\log x) dx = x \sin(\log x) - (x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx)$

4. $2\int \sin(\log x) dx = x \sin(\log x) - x \cos(\log x)$

5. $\int \sin(\log x) dx = \frac{x}{2} (\sin(\log x) - \cos(\log x)) + C$

*答え*

$\frac{x}{2} (\sin(\log x) - \cos(\log x)) + C$

**(15) $\tan^{-1} \sqrt{x}$**

*手順*

1. 部分積分を用いる。$\int \arctan \sqrt{x} dx = x \arctan \sqrt{x} - \int x \cdot \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = x \arctan \sqrt{x} - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{1+x} dx$.

2. $u = \sqrt{x}$とおくと、$du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$より$dx = 2u du$. よって、$\int \frac{\sqrt{x}}{1+x} dx = \int \frac{u}{1+u^2} 2u du = 2 \int \frac{u^2}{1+u^2} du = 2 \int \frac{u^2+1-1}{1+u^2} du = 2 \int (1 - \frac{1}{1+u^2}) du = 2 (u - \arctan u) + C = 2(\sqrt{x} - \arctan \sqrt{x}) + C$

3. よって$\int \arctan \sqrt{x} dx = x \arctan \sqrt{x} - (\sqrt{x} - \arctan \sqrt{x}) + C = (x+1) \arctan \sqrt{x} - \sqrt{x} + C$.

*答え*

$(x+1) \arctan \sqrt{x} - \sqrt{x} + C$

**(16) $\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}$**

*手順*

1. $x = \tan \theta$とおくと、$dx = \sec^2 \theta d\theta$。$\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sec \theta$。

2. よって、$\int \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}} dx = \int \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta \sec \theta} d\theta = \int \frac{\sec \theta}{\tan \theta} d\theta = \int \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\sin \theta} d\theta = \int \frac{1}{\sin \theta} d\theta = \int \csc \theta d\theta = -\ln |\csc \theta + \cot \theta| + C$

3. $\csc \theta = \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$、$\cot \theta = \frac{1}{x}$であるから、$-\ln |\csc \theta + \cot \theta| + C = -\ln |\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} + \frac{1}{x}| + C = -\ln |\frac{\sqrt{1+x^2} + 1}{x}| + C$.

*答え*

$-\ln |\frac{\sqrt{1+x^2} + 1}{x}| + C$ あるいは $\ln |\frac{x}{\sqrt{1+x^2} + 1}| + C$

あるいは$\ln |\frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{x}| + C$ (分母の有理化より)

あるいは $-\operatorname{arcsinh} \frac{1}{x}+C$